- •2. Понятие оду. Задача Коши, граничная задача.
- •3. Общая характеристика методов решения оду.
- •4. Постановка задачи Коши. Классификация численных методов её решения.
- •5. Схема Эйлера для решения задачи Коши. Графический способ построения. Св-ва и погрешность м-да.
- •6. Построение схемы Эйлера способом разложения в ряд Тейлора. Оценка точности метода.
- •7. Построение схемы Эйлера для решения задачи Коши разностным методом. Характеристика схемы.
- •8. Усовершенствованный метод Эйлера для решения задачи Коши. Свойства и погрешность метода.
- •9. Схема Эйлера-Коши для задачи Коши. Контроль точности решения.
- •10. Сходимость и порядок аппроксимации метода Эйлера.
- •11. Семейство методов Рунге-Кутта решения задачи Коши. Примеры методов Рунге-Кутта. (1 и 2 порядка точности).
- •12. Методы Рунге-Кутта 3 и 4 порядков точности. Выбор шага сетки. Оценка погрешности методов рунге-Кутта.
- •13. Методы Рунге-Кутта. Примеры схем различного порядка точности. Достоинства и недостатки этих методов.
- •14. Многошаговые методов решения задачи Коши. Интерполяционная и экстраполяционная схемы.
- •15. Многошаговые методы решения задач Коши. Явная схема Адамса.
- •16. Использование интерполяционных и квадратурных формул для построении многошаговых схем Адамса решения оду.
- •17. Практическая реализация явной и неявной схем Адамса.
- •18. Многошаговые методы решения задачи Коши. Неявная схема Адамса.
- •19. Сравнительная характеристика методов Адамса.
- •20. Повышение точности результатов при решении задачи Коши. Правило Рунге.
- •21. Численные метод решения систем оду. Схема Эйлера.
- •22. Численные метод решения систем оду. Схемы рунге-Кутта.
- •23. Жёсткие системы ду.
- •24. Численное дифференцирование конечными разностями. Оценка погрешности метода. Источники погрешностей.
- •25. Постановка двухточечной граничной задачи и классификация методов её решения.
- •26. Методы решения граничных задач для оду. Общая характеристика.
- •27. Метод редукции для решения краевых задач.
- •28. Применение метода редукции для решения краевой задачи на основе оду-2.
- •29. Решение краевой задачи методом стрельбы. Геометрическая интерпретация.
- •30. Метод стрельбы для решения краевой задачи на основе оду-2
- •31. Решение линейных и нелинейных краевых задач методом сеток.
- •32. Метод сеток для решения краевой задачи на основе оду-2
- •33. Метод прогонки для решения краевых задач второго порядка
- •34. Вариационно-проекционные методы решения краевых задач.
- •35. Метод коллокаций решения граничных задач.
- •36. Метод Галёркина для решения граничных задач на основе линейного ду.
- •37. Методы коллокаций и Галёркина для решения граничных задач на основе нелинейного ду.
- •40. Сравнительные характеристики методов решения граничных задач.
- •43. Приближённое вычисление интегралов.
- •43. Формула трапеций
- •44. Формулы Симпсона. Оценка погрешности.
- •45. Интегральные уравнения. Постановка задачи. Виды линейных интегральных уравнений.
- •Виды интегральных уравнений и соответствующие им задачи
- •46. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •47. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •48. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •49. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •50. Решение интегральных уравнений. Метод замены ядра на вырожденное.
32. Метод сеток для решения краевой задачи на основе оду-2
Рассмотрим идею конечно-разностных методов. Имеем линейное дифференциальное уравнение второго порядка, определенное на отрезке [a,b]
(1)
где p(x),q(x),f(x) - известные функции ;
граничные условия в общем виде выражаются следующим образом:
(2)
(3)
–заданные постоянные, причем выполняется условие .
Простейшим способом построения конечно-разностной системы алгебраических уравнений является замена производных через значения функции в узлах сетки. Такая замена может быть получена различными способами.
Например, известно, что из разложения функции u(x) в ряд Тейлора на равномерной сетке могут быть получены следующие соотношения:
(4)
- правая разностная схема с первым порядком аппроксимации по h
(5)
- левая разностная схема с первым порядком аппроксимации по h
(6)
- центральная разностная схема со вторым порядком аппроксимации по h. Вторую производную можно заменить в i-том узле сетки формулой второй разностной производной
(7)
со вторым порядком аппроксимации по h. Эти формулы приведены для равномерной сетки. В общем случае порядок аппроксимирующего выражения будет зависеть от распределения узлов сетки и гладкости функции. Будем предполагать, что , выберем произвольный узел с номером i=1,2,…,n-1 и воспользуемся соотношениями (6) и (7). Запишем уравнение (1)
(8)
Приведем подобные, получим
(9)
или
(10),
где ,
Т.к. узел сетки выбирался произвольно, поэтому мы разностное уравнение распространили на все внутренние узлы сетки. Учтем, что для аппроксимации выбирались конечно-разностные соотношения второго порядка точности, т.е . Также будем предполагать , что , т.е. функцию правой части аппроксимируем точно. Далее необходимо записать конечно-разностную аппроксимацию для граничных условий (2)-(3). Воспользуемся соотношениями (4)-(5), получаем
(11)
(12)
Преобразуем
(13)
(14)
Здесь и . При достаточно малых h можем отбросить погрешность аппроксимации Ri, i=0,1,2,…,n и получим конечно-разностную схему первого порядка аппроксимации
(15)
(16)
(17)
Таким образом, решение краевой задачи для дифференциального уравнения (1)-(3) сведено к решению системы алгебраических уравнений (15)-(17). Такая система будет линейной или нелинейной в зависимости от того, линейно (или нелинейно) исходное дифференциальное уравнение.
О близости задачи (15)-(17) к исходной задаче (1)-(3) судят по норме вектора . Если норма этого вектора || R || 0 при h0, то говорят, что построенная разностная схема (15)-(17) аппроксимирует исходную краевую задачу (1)-(3). Если при этом выполняется условие , то говорят, что разностная задача (15)-(17) аппроксимирует исходную дифференциальную задачу (1)-(3) с погрешностью k-го порядка относительно h. В рассмотренном случае имеем погрешность первого порядка, т.к. граничные условия заменялись соотношениями первого порядка аппроксимации. Для повышения порядка аппроксимации достаточно более точно заменить первые производные на концах отрезка и . Например, можно использовать следующие формулы:
(18)
(19)
Соотношения (15)-(17) представляют собой систему алгебраических уравнений, число которых совпадает с числом неизвестных. Решив эту систему, найдем приближенное решение исходной задачи (1)-(3).