2. Понятие оду. Задача Коши, граничная задача.

Решение ДУ занимает важное место среди научно-технических прикладных задач. С помощью ОДУ можно описать: движение системы взаимодействующих материальных точек; задачи химической кинетики; состояние электрических цепей; задачи сопротивления материалов и т.д. Конкретная прикладная задача может приводить к ДУ или системе ДУ любого порядка.

По числу независимых переменных ДУ делятся на две категории:

1. ОДУ с одной независимой переменной;

2. ур-ия с частными производными, содержащие несколько независимых переменных.

ОДУ-ми называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных различного порядка от искомой функции одной переменной u=u(x).

Такие уравнения можно записать в виде (1)

где x- независимая переменная. Наивысший порядок (n) входящей в уравнение (1) производной называется порядком уравнения. Если старшую производную в уравнении (1) можно выразить в явном виде, то такая форма записи называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной. , x[a,b](2)

Известно, что ОДУ n-го порядка можно свести к эквивалентной системе из n уравнений первого порядка путем понижения порядка уравнения, используя выражение (2), поэтому достаточно знать методы решения систем ДУ первого порядка.

Линейным ДУ называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производных. Решением ДУ (1) называется всякая функция u=(x), которая удовлетворяет этому уравнению при всех значениях x[a,b]. Различают общее и частное решения ДУ. Общее решение ОДУ n-го порядка содержит n произвольных постоянных , т.е. общее решение ОДУ можно записать следующим образом (4)

Частное решение ДУ получается из общего, если произвольным постоянным придать конкретные значения. Для ДУ первого порядка общее решение зависит от одного произвольного параметра.

Для нахождения частного решения, т.е. определения С=С₁ требуется сформулировать одно дополнительное условие.

В качестве дополнительных условий можно задавать значения искомой функции и ее производных в некоторых точках области определения независимой переменной. Исходя из способа задания дополнительных условий для получения частного решения ДУ, выделяют два различных типа задач: Задачу Коши (задача с начальными условиями) и краевую задачу. Если все дополнительные условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши или задачей с начальными условиями. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями, а точка x=x₀, в которой задаются эти условия, - начальной точкой.

Если же дополнительные условия задаются более, чем в одной точке, то такая задача называется граничной (краевой). Сами дополнительные условия - граничными (краевыми) условиями. На практике обычно граничные условия задаются в двух точках x=a, x=b, которые являются границей области решения ОДУ. Если в качестве граничных условий указываются значения функции u(a), u(b), то такие условия называются условиями первого рода. Кроме граничных условий первого рода для ОДУ часто ставят условия второго и третьего рода, в которых на концах отрезка задают соответственно значения производной функции или линейные комбинации функции и ее производной.