Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МЧА шпоры 6 сем.doc
Скачиваний:
132
Добавлен:
26.09.2019
Размер:
1.5 Mб
Скачать

35. Метод коллокаций решения граничных задач.

Пусть для простоты имеем задачу, в основе которой лежит линейное дифференциальное уравнение второго порядка следующего вида

(1)

Где p(x), q(x), f(x)- известные функции и задача имеет нулевые граничные условия

u(0)=0 u(1)=0 (2)

Будем искать приближенное решение этой задачи (1)-(2) в виде

(3)

Функция , т.к. имеем нулевые граничные условия. Следовательно, можем записать

(4)

Базисные функции должны удовлетворять граничным условиям задачи, т.е.

(5)

Предполагаем также, что эти базисные функции являются дважды дифференцируемыми.

На отрезке [0,1] построим сетку, т.е. выберем n не обязательно равноудаленных точек , где где – узлы сетки , k=1,…,n и называются точками коллокации. Потребуем, чтобы приближенное решение (4) точно удовлетворяло дифференциальному уравнению (1) в этих n точках, т.е. требуем выполнения следующего равенства

(6)

k=1,2,…,n. Так как невязка для исходной задачи (1)-(2) определяется следующим образом .

(7),

то соотношение (6) означает, что в точках коллокации невязка уравнения (1) равна нулю и, следовательно, эта невязка будет ортогональна любому набору функций.

Подставим в (6) вместо y(x) правую часть выражения (4), получаем

(8)

k=1,2,…,n

Выполним дифференцирование и соберем коэффициенты, получаем

(9)

k=1,2,…,n

Получили систему n линейных уравнений с n неизвестными . Введем обозначения

(10)

(11)

k=1,2,…,n

(12)

(13)

В этих обозначениях (10)-(13) система (9) будет выглядеть так:

AC=F (14)

где А – матрица размера n на n c элементами , –вектор неизвестных коэффициентов, - вектор столбец свободных членов. Решив систему (14), найдем значения параметров и, следовательно, конкретное выражение приближенного решения (4) исходной задачи (1)-(2).

Таким образом, решение линейной двухточечной краевой задачи методом коллокаций состоит в следующем:

  1. на отрезке поиска решения нужно выбрать точки коллокаций i=1,2,…,n, т.е. построить сетку ;

  2. нужно подобрать функцию так, чтобы выполнялись граничные условия задачи и выбрать систему базисных функций удовлетворяющих нулевым граничным условиям задачи;

  3. построить систему вида (14), т.е. определить коэффициенты и вектор F;

  1. решить систему (14), т.е. определить значения компонент вектора C;

  2. найти решение исходной задачи по формуле (3) в любых точках отрезка, в том числе и в точках коллокаций.