33. Метод прогонки для решения краевых задач второго порядка

По-прежнему будем решать систему линейных алгебраических уравнений вида

AX=f (1)

Здесь A – квадратная матрица с вещественными коэффициентами a_i,j, i,j=1,…,n, f =(f₁,…,f_n)^T - заданный вектор столбец с вещественными компонентами, X=(x₁,….x_n)^T – искомый вектор столбец.

Рассмотрим один из важнейших в приложениях случай, когда матрица А является трехдиагональной. Такие системы получаются при моделировании некоторых инженерных и научных задач, численном решении краевых задач разностными методами или методом конечных элементов.

В трехдиагональной матрице ненулевые элементы лежат на главной и двух побочных диагоналях, т.е.

a_ij¹0, i=1,2,…,n ; j =i-1,i,i+1, (2)

Введем следующие обозначения

a_i,i-1=a_i, a_i,i=b_i, a_i,i+1=c_i i=1,2,…,n (3)

Это позволит избежать двойной индексации при записи элементов матрицы А.

Таким образом, систему (1) перепишем в виде (4)

(4)

или в компактном виде:

i=2,3,….,n-1 (5)

На главной диагонали матрицы этой системы стоят элементы b₁, b₂,…., b_n, над ней – элементы – c₁, c₂,…, c_n-1, под ней – элементы – a₂, a₃,…, a_n. При этом обычно все коэффициенты b_i¹0.

Изложим сначала формальную схему метода прогонки. Будем искать решение задачи (5) в виде:

х_i = А_iх_i+1+В_i, i=1,2,3,….,n-1 (6)

где А_i, В_i неизвестные пока коэффициенты. По формуле (6) выразим х_i-1 и подставим его в (5). Получим для i=2,3,….,n-1

а_i(А_i-1х_i+В_i-1) + b_ix_i+c_ix_i+1 =f_i (7)

Из (7) можем выразить x_i через x_i+1

x_i= (8)

Сравнивая (6) и (8) , можем записать, что для i=2,3,….,n-1

А_i= В_i= (9)

Соотношения (9) представляют собой рекуррентные нелинейные уравнения относительно А_i, В_i. Для их решения необходимо задать начальные значения А₁, В₁. Из первого уравнения системы (5) имеем

х₁= (10)

С другой стороны по формуле (6) х₁ = А₁х₂+В₁, поэтому можем записать, что

А₁= , В₁= (11)

Нахождение коэффициентов А_i, В_i, называемых прогоночными, по формулам (9),(11) называется прямой прогонкой. После того как прогоночные коэффициенты А_i, В_i ,i=2,3,….,n-1 найдены из системы (9), решение системы (5) находится по рекуррентной формуле (6). Но для начала счета необходимо определить х_n. Для этого воспользуемся последним уравнением (5) и уравнением (6) при i=n-1. Запишем их:

a_nx_n-1+b_nx_n =f_n

х _n-1 = А _n-1х _n+В _n-1, (12)

Откуда следует, что

х _n= (13)

Используя формулы (6) и выражения для прогоночных коэффициентов (9), (11) последовательно определяем все неизвестные системы (5). Вычисление x_i называется обратной прогонкой, а сам рассмотренный двухэтапный метод называется методом прогонки или просто прогонкой.

Нетрудно установить связь метода прогонки с методом Гаусса (методом последовательного исключения неизвестных).

При описании метода прогонки предполагалась возможность выполнения всех предписанных алгоритмом действий. Однако необходимо определить условия, при которых алгоритм действительно выполним, т.е. указать обоснование метода прогонки. Реально это означает, что должно отсутствовать деление на ноль в формулах (9), (11) и выполняться устойчивость метода (влияние погрешности в задании входных данных на полученное методом прогонки решение).

Теорема. Пусть коэффициенты системы (5) удовлетворяют условиям

a_i ¹0, с_i ¹0, ½b_i ½³ ½a_i ½ + ½с_i ½, i=2,…,n-1 . (14)

½ b₁ ½³ ½ с₁½, ½ b _n½³ ½a_n ½ , (15)

причем хотя бы в одном неравенстве (15) или (16) выполняется строгое неравенство, т.е. матрица А имеет диагональное преобладание. Тогда для алгоритма метода прогонки имеют место неравенства ( а_iА_i-1+b_i)¹0 i=2,…,n ½ А_i ½£ 1, i=1,2,…,n-1, (16)

которые обеспечивают корректность и устойчивость метода.

Условие диагонального преобладания элементов является достаточным, но не является необходимым. В ряде случаев для хорошо обусловленных систем метод прогонки оказывается устойчивым даже при нарушении условия диагонального преобладания элементов.

Рассмотренный метод (6), (9), (11), (13) называется правой прогонкой. В этом случае определение неизвестных происходит в направлении убывания индексов. Аналогично выводятся формулы левой прогонки В этом алгоритме значения неизвестных x_i находятся в направлении возрастания индексов. Комбинация левой и правой прогонок даст метод встречных прогонок.