2.5. Матричный метод расчёта

электрических цепей

Соединение элементов электрической цепи наглядно отобра­жается её схемой. Пусть цепь состоит только из двухполюсных элементов. В простейшем случае, как отмечалось выше, такие элементы могут быть сое­динены последовательно или параллельно.

При последовательном соединении (см. п.2.2) два соседних элемента имеют один общий зажим. В любой момент времени ток в каждом элементе имеет одинаковое значение. Напряжение на зажимах всего соединения равно сумме напряжений на отдель­ных элементах:

(2.11)

При параллельном соединении (см. п.2.2) все элементы присоединены к одной и той же паре узлов. Для любого момента времени напряжение на каждом элементе одинаково. Ток в неразветвлен­ной части цепи равен сумме токов всех элементов:

(2.12)

Соотношения (2.11) и (2.12) справедливы для соединений любых элементов: линейных и нелинейных, с постоянными и перемен­ными во времени параметрами, резистивных, индуктивных, емкостных и т д., причём в ветвях элементы могут соединяться различным образом.

Выражения (2.11) и (2.12) представляют собой примеры простейших соотношений, которые определяются только способом соединения элементов, или, как говорят, геометрией (топологией) соединений.

Т опологические (геометрические) свойства электрической цепи не зависят от типа и свойств элементов, из которых состоит ветвь. Поэтому целесообразно каждую ветвь схемы электрической цепи изобразить отрезком линии. Например, на рис.2.10 приведена схема разветвленной электрической цепи. Если каждую ветвь схемы заменить отрезком линии, получается геометрическая фигура, показанная на рис.2.11.

Рис.2.10.

Рис.2.11.

Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заме­няется отрезком линии, называют графом электрической цепи.

Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называют ветвью графа. Граничные (концевые) точки ветви графа назы­вают узлами графа.

Ветвям графа может быть дана определенная ориентация, указанная стрелкой. Граф, у которого все ветви ориентированы, называют ориентированным. В противном случае граф счи­тают неориентированным.

Контур графа – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным узлом пути.

Сечением графа называют множество ветвей, удаление которых делит граф на два изолированных подграфа, один из которых в частном случае может быть изолированным узлом.

Топологические матрицы графа. В соответствии с видом уравнений Кирхгофа различают три топологические матрицы: матрицу соединений (узловую) А, мат­рицу сечений Q и матрицу контуров В.

Матрица соединений (узловая матрица) А —это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для узлов. Строки этой матрицы соответствуют узлам, столбцы — ветвям. Если элемент матрицы А обозначить через а_ij, т.е. A=[ а_ij]

(i — номер строки, j — номер столбца), то можно сформулировать следующее правило составления матрицы:

а_ij= 1, если ветвь j соединена с узлом i и направлена от узла;

а_ij= – 1, если ветвь j соединена с узлом i и направлена к узлу;

а_ij = 0, если ветвь j не соединена с узлом i.

Обычно число строк матрицы А равно числу независимых узлов, т.е. на единицу меньше числа узлов графа (схемы), т.е. равно у – 1. Если узловую матрицу записывают для всех узлов, то её обозначают А_Н.

Матрица сечений Q — это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для сечений. Строки мат­рицы Q соответствуют сечениям, столбцы — ветвям.

Элемент q_ij матрицы Q = [q_ij] оп­ределяется следующим образом:

q_ij = 1, если ветвь j содержится в сечении i и направлена согласно с направлением сечения (т.е. с направлением для замкнутой по­верхности);

q_ij = –1, если ветвь j содержится в сечении i и направлена противоположно направлению сечения;

q_ij = 0, если ветвь j не содержится в сечении i.

Число строк матрицы Q равно числу независимых сечений.

Матрица контуров (контурная мат­рица соединения ветвей) В — это таблица ко­эффициентов уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Строки матрицы В соответствуют контурам, столбцы — ветвям.

Элемент b_ij матрицы В = [b_ij] определяется следующим образом:

b_ij = 1, если ветвь j содержится в кон­туре i и направление ветви совпадает с на­правлением обхода контура;

b_ij = – 1, если ветвь j содержится в кон­туре i и направление ветви противоположно направлению обхода контура;

b_ij = 0 если ветвь j не содержится в контуре i.

Число строк матрицы В равно числу независимых контуров.

В дальнейшем нам будет необходимо совершать арифметические действия с матрицами, поэтому вспомним некоторые правила.

При сложении (вычитании) двух матриц каждому элементу третьей результирующей матрицы соответствует сумма (разность) соответствующих элементов первых двух матриц. Естественно, матрицы должны быть одинаковой размерности.

Произведением матрицы М1=[a_ij] размера на матрицу М2=[b_ij] размера является матрица М3=[c_ij] размера , элемент которой С_ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы М1 на соответствующие элементы j-го столбца матрицы М2, т.е. число столбцов матрицы М1 должно быть равно числу строк матрицы М2:

Матрица М^-1 называется обратной к матрице М, если М х М^-1=М^-1 х М=Е, где Е – единичная матрица, т.е. матрица, у которой элементы главной диагонали равны 1, а все остальные 0. Матрица имеет обратную только в том случае, если она квадратная и её определитель не равен нулю.

Законы Ома и Кирхгофа в матричной форме. Некоторая обобщённая ветвь электрической цепи может в общем случае содержать сопротивление r_k, идеальный источник э.д.с. E_k и идеальный источник тока J_k рис.2.12.

Рис.2.12.

Примем указанное на рис.2.12 направление источника э.д.с. и тока за положительное. Тогда, напряжение на зажимах ветви по закону Ома

.

Запишем это соотношение для всех ветвей схемы:

. . .

.

или в матричной форме

Введём обозначения: – столбцовая матрица напряжений ветвей; – диагональная матрица сопротивления ветвей; – диагональная матрица проводимостей ветвей, причём ; – столбцовая матрица токов ветвей; – столбцовая матрица источников тока; – столбцовая матрица источников э.д.с. Запишем закон Ома в матричной форме записи для напряжений ветвей:

(2.13)

и для токов ветвей:

. (2.14)

Далее в матричной форме – первый закон Кирхгофа

(2.15)

и второй закон Кирхгофа.

(2.16)

Применение узловых уравнений. Умножим обе части равенства (2.14) на матрицу А

.

Раскроем квадратные скобки, перегруппируем и с учётом (2.15) получим:

. (2.17)

С помощью матрицы А напряжения всех ветвей можно выразить через потенциалы узлов:

, (2.18)

где U_В и  – соответственно столбцовые матрицы напряжений ветвей и узловых потенциалов, А^Т – транспонированная узловая матрица.

Подставим (2.18) в (2.17) и получим уравнение

, (2.19)

которое называют узловым уравнением в матричной форме. Далее введём обозначения

;

и запишем узловое уравнение более кратко:

.

Матрицу G_У называют матрицей узловых проводимостей, матрицу I_У – матрицей узловых токов.

Пример 4 (см. рис.2.10). E₁ =80 [B]; E₂ =36 [B]; E₄ =10 [B]; J₄ =0,5 [A]; R^/₁=7 [Ом]; R^//₁=3 [Ом]; R₂ =18 [Ом]; R₃ =20 [Ом]; R₄ =20 [Ом]. Определить I₁, I₂, I₃, I₄.

И зобразим граф цепи (рис.2.11), пронумеруем узлы и примем потенциал одного из них за нуль (₃=0), пронумеруем ветви и зададим их направления (направления токов). Вычисления будем проводить в MathCAD. Задаём узловую матрицу А, столбцовую матрицу э.д.с. Е_В (знак «плюс» соответствует одинаковому направлению ветви графа и направлению э.д.с.), столбцовую матрицу источников тока J_В (знак «плюс» соответствует противоположному направлению ветви графа и направлению источника тока), диагональную матрицу сопротивлений ветвей схемы R_В:

В ычисляем матрицу проводимостей ветвей как обратную матрице сопротивлений:

Д алее вычисляем матрицу узловых проводимостей, и матрицу узловых токов:

Столбцовую матрицу узловых потенциалов  определяем через обратную матрицу G_У^-1:

С толбцовую матрицу напряжений ветвей получаем по (2.18) и далее по выражению (2.14) определяем токи в ветвях (столбцовую матрицу токов ветвей):

Ток четвёртой ветви I₄=0,4 [A] – ток обобщённой ветви (рис.2.10). Для того, чтобы определить ток в R₄ необходимо учесть источник тока:

Применение контурных уравнений. Умножим обе части равенства (2.13) на матрицу В

Раскроем квадратные скобки, перегруппируем и с учётом (2.16) получим:

. (2.20)

С помощью матрицы В токи в ветвях можно выразить через контурные токи:

, (2.21)

где I_B и _К – соответственно столбцовые матрицы токов ветвей и контурных токов, В^Т – транспонированная матрица контуров.

Подставим (2.21) в (2.20) получим уравнение

,

которое называют контурным уравнением в матричной форме. Далее введём обозначения

;

и запишем узловое уравнение более кратко:

Матрицу R_К называют матрицей контурных сопротивлений, матрицу E_К – матрицей контурных э.д.с..

Пример 5 (см. рис.2.10). E₁ =80 [B]; E₂ =36 [B]; E₄ =10 [B]; J₄ =0,5 [A]; R^/₁=7 [Ом]; R^//₁=3 [Ом]; R₂ =18 [Ом]; R₃ =20 [Ом]; R₄ =20 [Ом]. Определить I₁, I₂, I₃, I₄.

И зобразим граф цепи (рис.2.11), пронумеруем ветви цепи и зададим их направление (направление токов), пронумеруем контуры и выберем направление их обхода. Вычисления будем проводить в MathCAD. Задаём матрицу контуров В, столбцовую матрицу э.д.с. Е_В (знак «плюс» соответствует одинаковому направлению ветви графа и направлению э.д.с.), столбцовую матрицу источников тока J_В (знак «плюс» соответствует противоположному направлению ветви графа и направлению источника тока), диагональную матрицу сопротивлений ветвей схемы:

В ычисляем матрицу контурных сопротивлений, и матрицу контурных э.д.с.:

Столбцовую матрицу контурных токов I_K определяем через обратную матрицу R_K^-1:

Далее по выражению (2.21) определяем токи в ветвях:

Т ок четвёртой ветви I₄=0,4 [A] – ток обобщённой ветви (рис.2.12). Для того, чтобы определить ток в R₄ необходимо учесть источник тока:

Пример 6. Нарисовать граф цепи и составить матрицы А, В, R_В, Е_В, J_В.

Граф цепи выглядит так:

П отенциал узла 4 примем равным нулю и зададим направление ветвей и контуров.