11. Определение токов в ветвях схем,

построение топографических диаграмм

напряжений и векторных диаграмм

токов

Каждая точка электрической схемы, в которой соединяются активные сопро­тивления, индуктивности, ёмкости, источники э.д.с. и тока имеет свое значение комплексного потенциала.

Совокупность точек комплексной плоскости, изображающих комп­лексные потенциалы одноимённых точек электрической схемы и соединённых между собой векторами, назы­вают топографической диаграммой напряжений.

Совокупность векторов, построенных из начала координат комплексной плоскости, концы которых имеют значения координат, рассчитанных токов, называют векторной диаграммой токов.

Последовательную схему рассмотрим на конкретном примере (рис.3.7).

Пример 7. Допустим R₁ = 7 [Ом]; X_L = 20 [Ом]; R₂ = 3 [Ом]; X_C = 10 [Ом]; e(t) = 311,1 Sin (1000t +30^о) [B]. Определить ток , комплексы потенциалов точек схемы и построить топографическую диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов.

Расчёт проведём в действующих значениях, поэтому сначала определяем действующее значение э.д.с.:

Рис.3.7.

Так как начальная фаза равна 30^о, комплекс э.д.с. будет равен

Комплек с полного сопротивления контура

Ток в контуре по закону Ома равен

.

Комплексы потенциалов точек схемы:

Рис.3.8. Топографическая диаграмма напряжений и векторная диаграмма токов

Схема содержит один контур, следовательно векторная диаграмма токов будет состоять из одного тока .

Потенциал точки е должен быть равен э.д.с. (второй закон Кирхгофа в комплексной форме), что и получено в результате расчёта. На рис.3.8 приведена топографическая диаграмма напряжений и векторная диаграмма токов, построенная по рассчитанным выше комплексам потенциалов точек схемы и комплексу тока. Из диаграммы видно, что напряжение U_ab = U_C перпендикулярно вектору тока I (вектор I построен в другом масштабе) и направлено в сторону отставания (по часовой стрелке), напряжения U_bc = U_R2 и U_de = U_R1 совпадают по направлению с током I , а напряжение U_сd = U_L перпендикулярно вектору тока I и направлено в сторону опережения (против часовой стрелки). Вектор э.д.с. Е =U_ae равен сумме векторов U_ab + U_bc + U_сd + U_de .

Рис.3.9.

Рассмотрим цепь, состоящую из параллельного соединения индуктивности L и активного сопротивления R (рис.3.9,а). Допустим амперметры А₁ и А₂ имеют одинаковые показания 10 [А]. Требуется определить показание амперметра А₃. Считаем, что сопротивления амперметров равны нулю. Решение проведём с помощью векторной диаграммы токов. Зададим произвольно (предполо-жим по действительной оси) направление вектора напряжения U_ab. Вектор тока I₁ направлен перпендикулярно вектору напряжения U_ab в сторону отставания. Вектор тока I₂ совпадает с направлением вектора напряжения U_ab. Вектор тока I₃ является векторной суммой I₁ и I₂ , а его длина определяется по теореме Пифагора

.

Для более сложных схем, состоящих из двух и более контуров можно применять метод узловых потенциалов, контурных токов, двух узлов и т.п. Однако, при ручном счёте на микрокалькуляторе требуется много времени. При использовании MathCAD время затрачивается только на расчёт комплексов сопротивлений ветвей и составление соответствующих матриц (см. п.2.5).

Пример 8. Рассчитать токи в ветвях схемы (рис.3.10) матричным методом, если e₁(t)=141,4Sin(314t+45⁰); e₂(t)=169,7Sin314t ; Z₁=6–j6,5; Z₂=6+j5,08; Z₃=3,5+j4,96.

К омплексы э.д.с. в действующих значениях:

;

Рис.3.10.

.

Составляем матрицы контуров В, источников э.д.с. Ев, источников тока Jв и сопротивлений Zв:

Вычисляем матрицы контурных сопротивлений Zk, контурных э.д.с. Ek и токов ветвей:

Комплексы токов:

;

;

или в мгновенных значениях:

;

;

.