2.4. Методы расчёта электрических цепей

Метод уравнений Кирхгофа. Законы Кирхгофа используют для нахождения напряжений на участках цепи и токов в ветвях схемы. Обозначим число всех ветвей схемы через в, число ветвей, содержащих источники тока, — через в_ит и число узлов — через у. В каждой ветви схемы течет свой ток. Так как токи в ветвях с источ­никами тока известны, то число неизвестных токов равняется в–в_ит. Перед тем как составлять уравнения, необходимо:

а) произвольно выбрать положительные направления токов в вет­вях и обозначить их на схеме;

б) выбрать положительные направления обхода контуров для со­ставления уравнений по второму закону Кирхгофа.

С целью единообразия рекомендуется (это не обязательно) для всех контуров положи­тельные направления их обхода выбирать одинаковыми, например, все по часовой стрелке (или наоборот).

Чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому закону Кирхгофа составляют число уравнений, на единицу меньше, чем число узлов, т.е. у–1. По второму закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу ветвей без источников тока (в–в_ит), за вычетом числа уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, т.е. (в–в_ит) – ( у–1).

Составляя уравнения по второму закону Кирхгофа надо охватить все ветви схемы, исключая ветви с источниками тока. При записи линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа стре­мятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа. Такие контуры называют независимыми.

Требование, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна новая ветвь, является достаточным, но не необходимым условием, и потому его не всегда выполняют. В таких случаях часть уравнений по второму закону Кирхгофа составляют для контуров, все ветви которых уже вошли в предыдущие контуры.

Пример 1 (см. рис.2.5). E₁ =80 [B]; E₂ =64 [B]; R₁=6 [Ом]; R₂ =4 [Ом]; R₃ =3 [Ом]; R₄ =1 [Ом]. Определить I₁, I₂, I₃.

Произвольно выбираем положительные направления токов в ветвях. В схеме в =3; в_ит =0; у =2.

По первому закону Кирхгофа составляем ( у–1 = 2–1 = 1) одно уравнение: –I₁ –I₂ +I₃ =0 (а).

По второму закону Кирхгофа составляем [(в–в_ит) – ( у–1) = (3–0) – (2–1) = 2] два уравнения. Для контура R₁E₁R₂E₂ : I₁R₁ – I₂R₂ = E₁+E₂ (б); для контура E₂R₂R₃R₄ : I₂R₂ + I₃ (R₃+R₄) = –E₂ (в). Совместное решение уравнений (а), (б), (в) даёт: I₁ = 14 [A], I₂ = –15 [A], I₃ = –1 [A].

Поскольку положительные направления токов выбирают произ­вольно, в результате расчёта какой-либо один или несколько токов могут оказаться отрицательными. В рассмотренном примере отрицательными оказались токи I₂ и I₃ , что следует понимать так: направле­ния токов I₂ и I₃ не совпадают с направлениями, принятыми для них на рис.2.5 за положительные, т.е. в действительности токи I₂ и I₃ текут в обратном направлении.

Метод уравнений Кирхгофа является универсальным методом, однако, его применение ограничено возможностью вычислительных средств, доступных расчётчику, т.к. система уравнений содержит столько уравнений, сколько ветвей без источников тока содержится в схеме.

Метод узловых потенциалов. Ток в любой ветви схемы (содержащей э.д.с. или нет) можно найти по закону Ома для участка цепи (см.п.2.1). Для того, чтобы можно было применить этот закон, необходимо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчёта электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потен­циалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов.

Перед тем как составлять уравнения для определения значений потенциалов узлов схемы, необходимо:

а) пронумеровать все N узлов схемы;

б) потенциал одного из узлов принять равным нулю.

Далее составляют каноническую систему из N–1 уравнений по методу узловых потенциалов:

(2.8)

Рассмотрим структуру системы уравнений (2.8). Множителем G при , имеющем одинаковые индексы G_kk – является сумма проводимостей всех ветвей сходящихся в узле k; имеющем разные индексы G_km – является сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих узел k с узлом m, взятая со знаком «минус». Ток I_kk , называемый узловым током k-го узла, – это расчётная величина, равная алгеб­раической сумме токов, полученных от деления э.д.с. ветвей, подходящих к узлу k, на сопротивления данных ветвей. В эту сумму со зна­ком «плюс» входят токи тех ветвей, э.д.с. которых направлены к узлу k и со знаком «минус», э.д.с. которых направлены от узла k .

Если к k-му узлу подтекает ток от источника тока, то он должен быть включен в ток I_kk со знаком «плюс», если утекает, то со знаком «минус».

Если между какими-либо двумя узлами нет ветви, то соответст­вующая проводимость равна нулю. После решения системы (2.8) относительно потенциалов определяют токи в ветвях по закону Ома для участка цепи, содержащего э.д.с.

Пример 2 (см. рис.2.7). E₁ =80 [B]; E₂ =36 [B]; E₄ =10 [B]; J₄ =0,5 [A]; R^/₁=7 [Ом]; R^//₁=3 [Ом]; R₂ =18 [Ом]; R₃ =20 [Ом];

R₄ =20 [Ом]. Определить I₁, I₂, I₃, I₄.

Рис.2.7.

Обозначим номера узлов 1, 2, 3 и примем потенциал точки 3 равным нулю (₃=0). Так как необходимо найти потенциалы ₁ и ₂ , то система (2.8) будет иметь вид:

,

Рассчитываем проводимости G₁₁, G₂₂, G₁₂=G₂₁ и узловые токи I₁₁ и I₂₂ :

Таким образом, исходная система имеет вид:

. Решение ₁ =36 [B] , ₂ =28 [B] .

Далее по закону Ома для участка цепи, содержащей э.д.с., определяем токи в ветвях схемы (рис.2.5) :

Проверка по 1-му закону Кирхгофа показывает, что задача решена верно: узел 1: 4,4=4+0,4; узел 2: 0,4+0,5=0,9.

Преимущество метода узловых потенциалов заключается в том, что если проверка по 1-му закону Кирхгофа проходит успешно, то никакой другой проверки (баланс мощностей) не требуется.

Метод контурных токов. При расчёте методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего определяют реальные токи ветвей через расчётные контурные токи.

Таким образом, метод контурных токов можно определить как метод расчёта, в котором за искомые принимают контурные токи.

Перед тем как составлять уравнения для определения значений контурных токов, необходимо:

а) определить все независимые контуры схемы;

б) произвольно задаться направлением контурных токов в них.

Далее составляют каноническую систему уравнений по методу контурных токов:

(2.9)

Рассмотрим структуру системы уравнений (2.9). Множителем R при контурных токах I_kk, имеющем одинаковые индексы R_kk – является сумма сопротивлений всех ветвей, которые обтекает контурный ток k-го контура, имеющем разные индексы R_km – является сумма сопротивлений ветвей обтекаемых одновременно контурными токами k-го и m-го контуров, причём сопротивления тех ветвей, в которых контурные токи протекают в одном направлении входят со знаком «плюс», а сопротивления тех ветвей, в которых контурные токи протекают в разных направлениях входят со знаком «минус». Е_kk – контурная э.д.с. k-го контура. Она равна алгебраи­ческой сумме э.д.с. этого контура. В неё со знаком «плюс» входят те э.д.с., направления которых совпадают с на­правлением контурного тока и со знаком «минус», направления которых не совпадают с на­правлением контурного тока.

После решения системы (2.9) относительно контурных токов ток в любой ветви определяют как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по этой ветви.

Пример 3 (см. рис.2.8). E₁ =80 [B]; E₂ =36 [B]; E₄ =10 [B]; J₄ =0,5 [A]; R^/₁=7 [Ом]; R^//₁=3 [Ом]; R₂ =18 [Ом]; R₃ =20 [Ом]; R₄ =20 [Ом]. Определить I₁, I₂, I₃, I₄.

С

Рис.2.8.

хема и параметры аналогичны примеру 2. Эта схема имеет некоторую особенность, которая заключается в наличии источника тока J₄. Этот источник можно преобразовать в источник э.д.с. и включить последова- тельно с Е₄. Однако, можно поступить и по-другому, выделив источник тока в отдельный контур, как это показано на рис.2.8. Система уравнений (2.9) будет выглядеть следующим образом:

Рассчитываем сопротивления R₁₁, R₂₂, R₁₂=R₂₁, R₁₃, R₂₃ и контурные э.д.с. Е₁₁ и Е₂₂.

,

,

,

, ,

,

.

Таким образом, исходная система имеет вид:

. Решение I₁₁ = 4,4 [A]; I₂₂ = 0,4[A]

Определяем токи в ветвях:

Полученное решение необходимо проверить по 2-му закону Кирхгофа для всех контуров или по балансу мощностей.

Метод двух узлов. Часто встречаются схемы, содержащие всего два узла; на рис.2.9 изображена одна из таких схем. Наиболее рациональным методом расчёта токов в них является метод двух узлов. Этот метод является частным случаем метода узловых потенциалов. Если N=2, ₂=0 система (2.8) выродится в уравнение:

. (2.10)

П

Рис.2.9.

од методом двух узлов понимают метод расчёта электрических цепей, в котором за искомое принимают напряжение между двумя узлами схемы. Затем с его помощью определяют токи ветвей.

Читателю предлагается самостоятельно записать формулы для определения напряжения двух узлов и токов схемы, изображённой на рис.2.9.