Подставив численные значения
,
получим корни p1 = – 190,98; p2 = – 1309,02.
4). Так как корни действительные и разные, то согласно (6.4)
.
Записываем решение для uC (t):
.(6.16)
6). Определяем постоянные интегрирования А1 и А2.
Продифференцируем (6.16)
.
(6.17)
Возьмём (6.16) и (6.17) при t = 0+:
,
(6.18)
.
(6.19)
С другой стороны (см. пункт 1):
,
.
Таким образом, имеем систему двух уравнений
,
решение которой А1 = – 117,08; А2 =17,08.
Окончательно, напряжение на ёмкости после первой коммутации определится по формуле:
.
Выражение для тока можно получить, используя формулу (1.5):
.
Вторая коммутация (замыкание ключа К2) происходит через время t = 10–2 с.
Определим независимые начальные условия для неё:
[B]
[A]
Для второй коммутации время опять отсчитывают от нуля, поэтому для неё
[A]
, а
[B].
Принуждённый режим такой же, как и после первой коммутации:
[A]; [B].
Структура
характеристического уравнения будет
такой же, с той лишь разницей, что
в выражении отсутствует
:
или
.
Корни
на этот раз получаются комплексно-сопряжённые
, а напряжение
на ёмкости
с учётом
(6.6) будет
иметь вид:
.
(6.20)
Для
определения постоянных интегрирования
А
и
продифференцируем
(6.20)
(6.21)
и возьмём (6.20) и (6.21) при t = 0+ (для второй коммутации время опять отсчитывают от нуля) :
(6.22)
(6.23)
С другой стороны (см. начальные условия для второй коммутации):
[В],
.
Таким образом, имеем систему двух уравнений
,
решение
которой
и
.
Окончательно, напряжение на ёмкости после второй коммутации определится по формуле:
t
= 10–2с
Рис.6.6.
Выражение для тока, также как и после первой коммутации, можно получить, используя формулу (1.5):
Процесс изменения напряжения на ёмкости и тока в цепи показан на рис.6.6.
6.4. Преобразование Лапласа
Условимся под р понимать комплексное число:
,
где а – действительная часть, b – мнимая часть этого комплексного числа.
Функцию времени (ток, напряжение, э.д.с., заряд) будем обозначать f(t) и называть оригиналом. Преобразованная по Лапласу функция f(t), называется её изображением F(p) и определяется по формуле:
(6.24)
F(p) – функция комплексного числа р. Соответствие между функцией F(p) и функцией f(t) записывают так:
Переход от функции времени f(t) к функции F(р) позволяет свести операцию дифференцирования к операции умножения, а операцию интегрирования – к делению. Это даёт возможность заменить дифференциальные уравнения алгебраическими.