6.3. Классический метод расчёта

переходных процессов

Задача о переходном процессе в любой линейной электри­ческой цепи с сосредоточенными параметрами сводится к решению линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффи­циентами.

Классическим методом расчёта переходных процессов называют метод расчёта, в котором решение дифференциального уравнения берут в виде суммы свободного и принуждённого решений:

.

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения будем называть принуждённой составляющей: .

Принуждённая составляющая тока или напряжения физически представляет собой составляющую, изменяющуюся с той же частотой, что и действующая в схеме принуждающая э.д.с. Так, если в схеме действует принуждающая синусоидальная э.д.с. частоты , то принуждённая составляющая любого тока и любого напряжения в схеме является соответственно синусоидальным током или синусоидаль­ным напряжением частоты .

Определяются принуждённые составляющие в цепи синусоидаль­ного тока с помощью символического метода (см. гл.3). Если в схеме действует источник постоянной э.д.с. (как, например, в схеме рис.6.3), то принуждённый ток есть ток постоянный и находят его с помощью методов, рассмотренных в гл.2.

Постоянный ток через ёмкость не проходит (1.5), поэтому принуждённая составляющая тока через ёмкость в цепях с источниками постоян­ной э.д.с. равна нулю. Кроме того, напомним, что падение напря­жения на индуктивности от неизменного во времени тока равно нулю (1.4).

Общее решение однородного уравнения называют свободной составляющей: .

Однородное уравнение получаем из исходного, если в нём взять правую часть равной нулю.

В линейных электрических цепях свободные составляющие токов и напряжений затухают во времени по показательному закону е^pt , где р = – 1/а  – называется постоянной времени.

С увеличением времени t множитель быстро уменьшается. Название «свободная» объясняется тем, что эта составляющая есть решение уравнения, свободного от вынуждающей силы (однородного уравнения без правой части).

Свободная составляющая переходного процесса при характеристическом уравнении первого, второго и третьего порядка. Число корней характеристического уравнения равно степени этого уравнения. Так, если характеристическое уравнение представляет собой уравнение первой степени, то оно имеет один корень, если второй степени, — два корня, третьей — три и т.д.

Уравнение первой степени имеет всегда отрицательный действительный (не мнимый и не комплексный) корень (р), а характер свободного процесса определяется по формуле

. (6.3)

Уравнение второй степени может иметь:

а) два действительных неравных отрицательных корня (р₁, р₂), а характер свободного процесса определяется по формуле

; (6.4)

б) два действительных равных отрицательных корня (р₁ = р₂ = р), а характер свободного процесса определяется по формуле

; (6.5)

в) два комплексно сопряжённых корня с отрицательной действительной частью , а характер свободного процесса определяется по формуле

. (6.6)

Уравнение третьей степени может иметь:

а) три действительных неравных отрицательных корня (р₁, р₂, р₃), а характер свободного процесса определяется по формуле

; (6.7)

б) три действительных отрицательных корня, из которых два равны друг другу (р₁ = р₂ = р, р₃ ), а характер свободного процесса определяется по формуле

; (6.8)

в) три действительных равных отрицательных корня (р₁ = р₂ = р₃ = р), а характер свободного процесса определяется по формуле

; (6.9)

г) один действительный отрицательный корень и два сопряжённых с отрицательной действительной частью , а характер свободного процесса определяется по формуле

. (6.10)

Определение постоянных интегрирования А_i, входящих в выражение для сво­бодного тока (или напряжения), производят путём совместного решения системы линейных алгебраических уравнений по известным значениям корней характеристического уравнения и известным значениям свободной составляющей и её производных, взятых при t = 0₊. Для этого достаточно помнить, что при любых переходных и установившихся процессах соблюдают два основных положения: ток через индуктивность и напряжение на ёмкости не могут изменяться скачком (см. законы коммутации).

Из трёх токов (полного, принуждённого и свободного) и трёх напряжений (полного, принуждённого и свободного) основное значе­ние имеют полный ток и полное напряжение.

Полный ток является тем током, который в действительности протекает по той или иной ветви цепи при переходном процессе. Его можно измерить и записать на осциллограмме. Аналогично, полное напряжение — это напряжение, которое в действительности имеется между некоторыми точками электрической цепи при переходном про­цессе. Его также можно измерить и записать на осциллограмме.

Принуждённые и свободные составляющие токов и напряжений во время переходного процесса играют вспомогательную роль; они являются теми расчётными компонентами, сумма которых даёт действительные величины полных токов и напряжений.

Кроме индексов «пр» (принуждённый) и «св» (свободный), токи и напряжения могут иметь и дополнительные индексы, соответству­ющие номерам ветвей на схеме.

Последовательность расчёта при применении классического метода.

Переходный процесс в цепи с одним накопителем энергии.

Пример 8. Последовательная RC-цепь подключается к источнику постоянной э.д.с. E (рис.6.3). Требуется определить u_C(t) и i(t).

Рис.6.3.

1). Задаём направление тока и определяем независимые и зависимые (если это необходимо) начальные условия:

а). Независимое н.у.: [B];

б). Зависимое н.у.: для t = 0₊ составим уравнение по 2-му закону Кирхгофа , следовательно

.

2). Определяем принуждённые составляющие искомых токов и напряжений:

а). Как указывалось выше, постоянный ток через конденсатор не протекает, т.е. .

б). По 2-му закону Кирхгофа для принуждённого режима , следовательно .

3). Составляем характеристическое уравнение и определяем его корни:

а). Составим входное сопротивление на переменном токе .

б). Заменим и приравняем нулю

,

откуда [c^-1].

4). Определяем вид свободной составляющей:

и .

5). Записываем решение как сумму свободной и принуждённой составляющих:

(6.11)

. (6.12)

6). Используя начальные условия определяем постоянные интегрирования А и В:

при t = 0₊ (6.11) имеет вид , откуда А = -Е ;

при t = 0₊ (6.12) имеет вид .

Таким образом, решение выглядит так:

и .

Ток можно было бы найти, используя формулу (1.5):

.

Пример 9. Последовательная RL-цепь подключается к источнику постоянной э.д.с. E (рис.6.4). Требуется определить u_L(t), i(t), u_R(t).

1 ). Задаём направление тока и определяем начальные условия:

а). Независимое н.у.:

[А];

б

Рис.6.4.

). Зависимое н.у.: для t = 0₊ составим уравнение по 2-му закону Кирхгофа или , т.к. следовательно

и

2). Определяем принуждённые составляющие искомых токов и напряжений:

а). Как указывалось выше, падение напряжения на индуктивности от неизменного во времени тока равно нулю (1.4), т.е. .

б). По 2-му закону Кирхгофа для принуждённого режима , следовательно

и .

3). Составляем характеристическое уравнение и определяем его корни:

а). Составим входное сопротивление на переменном токе .

б). Заменим и приравняем нулю

,

откуда [c^-1].

4). Определяем вид свободной составляющей:

, и

5). Записываем решение как сумму свободной и принуждённой составляющих:

, (6.13)

, (6.14)

. (6.15)

6). Используя начальные условия определяем постоянные интегрирования А, В и D :

при t = 0₊ (6.13) имеет вид ,

при t = 0₊ (6.14) имеет вид , откуда ,

при t = 0₊ (6.15) имеет вид , откуда .

7). Таким образом, записываем окончательное решение:

Напряжение и можно было бы найти, используя формулы (1.3) и (1.4):

,

.

Рис.6.5.

Переходный процесс в цепи с двумя накопителями энергии (последовательная RLC - цепь). На рис.6.5. приведена последовательная RLC – цепь с двумя ключами К₁ и К₂, которые включаются последовательно во времени через интервал t. Ключ К₁ подключает цепь к источнику постоянной э.д.с. Е, а ключ К₂ закорачивает часть активного сопротивления контура.

Пример 10. [B]; [Ом]; [Ом]; [Гн]; [Ф];t = 10^–2 [с].

После первой коммутации:

1). Независимые начальные условия:

[A]; [B].

2). Принуждённый режим:

[A]; [B].

3). Корни характеристического уравнения:

,

приравняем Z(p) нулю и получим характеристическое уравнение

.