5. Изображение простейших функций времени

по Лапласу

1. Изображение постоянной. Если f(t)=A, то подставив f(t) в (6.24), получим:

2. Изображение первой производной. Подставим в (6.24) и получим:

.

Интегрирование произведём по частям. Обозначим

и

Cледовательно,

Но

,

а

.

Таким образом,

.

3. Изображение интеграла. Подставим в (6.24) и получим:

Интегрирование произведём по частям. Обозначим

Cледовательно

5. Операторный метод расчёта

переходных процессов

С помощью преобразования Лапласа легко решаются дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Для этого к обеим частям дифференциального уравнения применяют вышеназванное преобразование, в результате чего получается алгебраическое уравнение для функций от р. Рассмотрим применение этого общего метода, называемого операторным, к задачам электротехники, связанным с расчётом переходных процессов в линейных цепях. Суть метода заключается в следующем:

а) по виду исходной схемы и начальным условиям составляют операторную схему;

б) используя известные методы (уравнений Кирхгофа, контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного генератора и т.д.), определяют операторное выражение для искомой величины, например, I(p) или U(p);

в) по операторному выражению определяют оригинал искомой величины.

Определим, как в операторной схеме замещения будут представлены конденсатор, индуктивность и активное сопротивление.

Ток i_C(t) и напряжение u_C(t) конденсатора связаны уравнением

Воспользуемся операторными изображениями постоянной и интеграла [F₁(p) и F₃(p) из п.6.5] и получим:

Это выражение показывает, что конденсатор в операторной схеме замещения должен быть представлен последовательно соединёнными операторным сопротивлением Z_C(p)=1/pC и операторной э.д.с. u_C(0)/p . Эта э.д.с. учитывает начальные условия на конденсаторе, обусловленые запасом энергии в электрическом поле конденсатора вследствие наличия напряжения на нём непосредственно до коммутации. Её направление выбирается против операторного тока в конденсаторе.

Напряжение u_L(t) и ток i_L(t) в индуктивности связаны уравнением

.

Воспользуемся изображением производной [F₂(p) из п.6.5] и получим:

.

Анализируя это выражение, делаем вывод о том, что индуктивность заменяется последовательно соединёнными операторным сопротивлением Z_L(p)=pL и операторной э.д.с. Li_L(0), учитывающей начальные условия. Направление этой э.д.с. выбирается по операторному току в индуктивности. Физически эта э.д.с. обусловлена запасом энергии в магнитном поле индуктивности вследствие протекания через неё тока непосредственно до коммутации.

Напряжение и ток в активном сопротивлении связаны уравнением

,

тогда в изображениях получим:

.

Из последнего выражения следует, что активное сопротивление заменяется операторным сопротивлением Z_R(р)=R.

Рис.6.7.

Порядок расчёта операторным методом рассмотрим на конкретном примере схемы с двумя коммутациями, представленной на рис.6.7.

Пример 11. Е₁=100 [B]; R₂=40 [Ом]; R₃=20 [Ом]; L₁=0,02 [Гн]; L₃=0,001 [Гн]; C₂=200 [мкФ]. До первой коммутации ток в цепи отсутствовал и конденсатор С₂ был разряжен. Ключ К₂ включается через время t = 10^–2 с после замыкания К₁.

После первой коммутации (замыкании ключа К₁) цепь, представляющая собой последовательное соединение индуктивности L₁, активного сопротивления R₂ и конденсатора С₂, подключается к источнику постоянной э.д.с. Е₁ в момент t=0.

Рис.6.8.

Составим операторную схему для цепи после первой коммутации (рис.6.8). Она состоит из одного контура, содержащего три операторные э.д.с.: источника (Е₁/р), начального значения тока индуктивности (L₁i₁(0)) и начального значения напряжения на ёмкости (u_C2(0)/p), а также операторные сопротивления индуктивности (pL₁), активного сопротивления (R₂) и ёмкости (1/рС₂). Все перечисленные элементы контура соединены последовательно, поэтому уравнение по второму закону Кирхгофа выглядит так:

, (6.25)

где I₁(p)=I₂(p)=I(p). Из равенства (6.25) находим изображение неизвестного тока

;

Подставляем численные значения параметров схемы и учитываем начальные условия задачи i(0)=0 и U_C2(0)=0:

. (6.26)

Теперь рассмотрим порядок перехода от операторного изображения к оригиналу.

Как правило, результирующее операторное выражение можно представить в виде отношения двух полиномов по степеням р (см. выражения 6.25 и 6.26):

, (6.27)

причём, степень числителя не больше степени знаменателя.

Переход от изображения F(p) к функции времени производится при помощи формулы разложения:

, (6.28)

где р_k – корни уравнения М(р)=0. Левая часть этой формулы является функцией р, а правая часть – соответствующая ей функция времени t.

В некоторых случаях результирующее операторное выражение представляется в виде:

, (6.29)

т.е. присутствует нулевой корень. В этом случае формулу разложения можно записать так:

. (6.30)

Формула разложения применима при любых начальных условиях и при любых практически встречающихся формах напряжения, воздействующего на схему.

Воспользуемся формулой разложения для определения оригинала выражения (6.26). Здесь N(p) = 2x10^-2, M(p) = 4x10^-6p²+8x10^-3p+1, М ^/(р)=8х10^-6р+8х10^-3. Корни М(р) =0: р1= – 133,97; р2= – 1866,03. Следовательно, используя (6.28) получим:

Далее определим операторное выражение напряжения на конденсаторе

или, подставляя численные значения

.

В данном случае изображение соответствует виду (6.29), поэтому оригинал ищем по формуле (6.30):

.

Оригинал можно определить и с помощью MathCAD, используя специальный оператор “invlaplace” панели инструментов Symbolic (Символьная). Так, определим оригинал для тока:

Результат в MathCAD получаем в виде произведения экспоненты и гиперболического синуса, однако, если записать выражение последнего через экспоненты, то получим тот же результат, что и по формуле разложения.

Независимые начальные условия для второй коммутации:

[A]; [B]; [A].

С оставим операторную схему для цепи после второй коммутации (рис.6.9). Здесь L₁i₁(0)=0,015; L₃i₃(0)=0; U_C2(0)/p=71,78/p. Как отмечалось выше, операторное выражение любой электрической величины можно определять, используя методы, описанные в главе 2.

Применим метод двух узлов в матричной форме и используем для расчёта MathCAD.

Рис.6.9.

Записываем узловую матрицу, матрицу операторных сопротивлений ветвей и столбцовые матрицы операторных выражений для источников тока и э.д.с. ветвей.

;

; ;

. Далее вводим формулу для определения токов ветвей (см. гл. 2)

и получаем столбцовую матрицу операторных выражений для токов ветвей. Затем к операторному выражению для каждого тока применим обратное преобразование Лапласа.

Приведём результаты вычислений:

I₁(p) invlaplace,p i₁(t):

I₂(p) invlaplace,p i₂(t):

I₃(p) invlaplace,p i₃(t):

7. Передаточная функция и её связь с дифференциальным уравнением, с импульсной и частотной характеристиками.