Применяем теорему Остроградского-Гаусса

.

Поскольку интегриро­вание проводится по объёму конечных размеров, причём равенство нулю сохраняется при любой конечной величине и форме объёма, то подынтегральное выражение должно равняться нулю

. (9.7)

Это первый закон Кирхгофа (точнее, закон Кирхгофа—Ленца) в дифференциальной форме. Он выражает то, что линия поля плотности установившегося тока проводимости нигде не начинаются и не заканчиваются, т.е. всегда замкнуты; иначе говоря, поле плотности тока проводимости имеет либо вихревой, либо смешанный характер.

Уравнение (9.7) называется уравнением непрерывности.

Ток смещения. Допустим, что плотность зарядов  внутри объёма (рис. 9.9) возрастает во времени со скоростью д/дt. Теперь дивергенция плотности тока проводимости не рав­на нулю, так как каждый новый элементарный заряд, входящий в объём, является концом или началом линии поля (в зависимости от знака заряда). Поток вектора плотности тока проводимости через замкнутую поверх­ность, ограничивающую объём, теперь будет равен уве­личению количества зарядов в объёме

.

Знак минус указывает, что при возрастании количества зарядов внутри объёма поток вектора плотности тока, входящий в объём, больше выходящего.

Заменяем левый интеграл по теореме Остроградско­го—Гаусса

.

Оба равных интеграла взяты по одному и тому же объёму. Равенство сохраняется при любой конечной величине и форме объёма, следовательно, подынтеграль­ные выражения равны друг другу

.

Применяя теорему Гаусса в дифференциальной форме

.

Поскольку порядок проведения операций дифференцирования не играет роли, меняем местами символ дифференцирования по времени и символ дивергенции; последний выносим за скобки

. (9.8)

Выражение (9.8) является более общей формой первого закона Кирхгофа. Второй член в скобках представляет собой плотность тока смещения: её величиной оценивается скорость изменения по времени электриче­ского поля, сопровождаемого таким же магнитным эф­фектом, как и ток проводимости.

Делаем замену D=_aE и, используя закон Ома в дифференциальной форме, получаем

.

Выражение в скобках представляет собой полную плотность тока

.

Её поле является вихревым или смешанным, так как дивергенция равна нулю.

Линии полной плотности тока не имеют поэтому ни начал, ни концов, т. е. всегда образуют замкнутые кривые. Простым примером служит цепь зарядки конденсатора от источника постоянной э.д.с. Ток проводимости в соединительных проводах, плотность которого _пр, доставляет заряды из источника на обкладки конденсатора, а в диэлектрике конденсатора нарастает электрическое поле со скоростью дD/дt, равной плотно­сти тока смещения _см.