5.Многополюсные цепи

5.1. Определение многополюсников

Достаточно часто анализ режимов в электрической цепи ограничивается расчётом токов (напряжений) в отдельных ветвях (на отдельных участках) цепи и определением уравнений связи между этими токами (напряжениями). При этом токи (напряжения) в остальных ветвях цепи остаются неизвестными, и эта часть цепи характеризуется обобщёнными параметрами по отношению к некоторым выделенным зажимам.

Часть цепи, характеризуемую обобщёнными параметрами, необходимыми и достаточными для составления уравнений связи между токами и напряжениями на её зажимах, называют многополюсником.

Реальная схема этой части цепи может быть неизвестна. Число полюсов мно­гополюсника равно числу зажимов на границе данной части схемы. Многополюсники условно обозначают, например, в виде прямоугольников с соответствующим числом полюсов, с помощью которых они присоединяются к остальной части цепи.

При исследовании режимов в электрических цепях чаще всего используют двухполюсники, трёхполюсники и четырёхполюс­ники.

Многополюсники, не содержащие в своих ветвях источников энергии, называют пассивными (линии передачи электриче­ской энергии, трансформаторы, мостовые измерительные схемы и т. п.).

Многополюсники, содержащие в своих ветвях источники энер­гии, называют активными (усилители, электронные измерительные приборы и т. п.).

5.2. Основные уравнения четырёхполюсников

Черырёхполюсником принято называть электрическую схему, имеющую два входных зажима и два выходных. Изображается он в виде прямоугольника с выходящими из него полюсами mn и pq (рис. 5.1).

Рис. 5.1

Если электрическая схема, которую изображает собой четырёхполюсник, содержит э.д.с., то в прямоугольнике ставится буква А (“активный”), если не содержит э.д.с., то – буква П (“пассивный”). В дальнейшем рассматривается теория пассивного четырёхполюсника.

Входной ток обозначают I₁, входное напряжение U₁; ток и напряжение на выходе – через I₂ и U₂. Зажимы mn являются входными, pq – выходными (рис.5.2).

Рис.5.2

Для любого пассивного линейного четырёхполюсника напряжение и ток на входе связаны с напряжением и током на выходе двумя уравнениями, которые принято называть основными уравнениями четырёхполюсника:

(5.1)

В этих уравнениях комплексные коэффициенты А₁₁, А₁₂, А₂₁, А₂₂ зависят от схемы внутренних соединений четырёхполюсника, от параметров элементов, входящих в схему и от частоты. Для каждого четырёхполюсника эти коэффициенты могут быть определены расчётным или опытным путём. Они называются – коэффициентами формы А и связаны между собой соотношением:

(5.2)

Из (5.1) видно, что коэффициенты А₁₁ и А₂₂ безразмерны, коэффициент А₁₂ имеет размерность Ом, а коэффициент А₂₁ – Сим.

Коэффициенты формы А могут быть определены с помощью входных сопротивлений в трёх различных режимах работы четырёхполюсника.

1. В режиме холостого хода (при разомкнутой ветви pq) опытным путём определяется комплекс входного сопротивления со стороны зажимов mn:

Из (5.1) следует, что в этом режиме при I₂=0 и U₂=U₂₀

Входное сопротивление равно

или

(5.3)

2. В режиме прямого короткого замыкания (при замкнутой ветви pq) опытным путём определяется комплекс входного сопротивления со стороны зажимов mn:

.

Из (5.1) следует, что в этом режиме при I₂=I_2k и U₂=0

Входное сопротивление равно

или

(5.4)

3. В режиме обратного короткого замыкания (при замкнутой ветви mn) опытным путём определяется комплекс входного сопротивления со стороны зажимов pq:

Из (5.1) следует, что в этом режиме при I₂ = - I_2k, U₂=U_2k и U₁=0

или .

Входное сопротивление равно

или (5.5)

Таким образом, для определения коэффициентов формы А располагаем четырьмя уравнениями (5.2), (5.3), (5.4), (5.5):

Из (5.4) и (5.5) получим:

или . (5.6)

Из (5.3) и (5.4) получим:

или

.

Подставляя последнее в (5.2), получим:

или

. (5.7)

Перемножив левые и правые части (5.6) и (5.7), получим

.

Окончательно имеем:

.

Остальные коэффициенты формы А просто определяются из уравнений (5.3), (5.4), (5.5).

Существуют ещё несколько форм записи уравнений четырёхполюсников, например, с помощью коэффициентов формы Z:

(5.8)

Коэффициенты формы Z легко определяются через коэффициенты формы А. Для этого сначала перегруппируем второе уравнение системы (5.1):

,

а потом подставим его в первое и получим:

.

Таким образом, коэффициенты формы Z будут равны:

Очевидно, что размерность коэффициентов формы Z имеют размерность Ом.

Существуют ещё коэффициенты формы Y (5.9):

(5.9)

и формы H (5.10):

(5.10)

Читателю предлагается самостоятельно определить размерность коэффициентов формы Y и формы H, а также выразить их через коэффициенты формы А.