7.2. Понятие о передаточных функциях и частотных

характеристиках звеньев систем

В общем случае динамика линейных систем описывается неоднородным линейным дифференциальным уравнением с постоянными вещественными коэффициентами:

(7.1)

где - постоянные вещественные коэффициенты;

- производные 1-го, …, n-го порядка от

выходной величины;

- производные 1-го, …, m-го порядка от

входной величины.

Применяя операторный метод, основанный на преобразовании Карсона – Хевисайда, можно записать операторное выражение соответствующее дифференциальному уравнению (7.1):

(7.2)

где Y(p) и X(p) – соответственно изображения функций y(t) и x(t).

Если B(p) – характеристический полином степени m правой части уравнения (7.2), а А(р) – характеристический полином степени n левой части уравнения (7.2), то

После того как найдено изображение Y(p), находится сама функция-оригинал y(t) с помощью обратного преобразования.

Величина

(7.3)

называется передаточной функцией системы. Она равна отношению изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных значениях.

Передаточная функция является важнейшей характеристикой звеньев и систем автоматического управления, так как она полно­стью описывает их динамические свойства и естественным образом свя­зана с переходной и частотными функциями.

Чтобы найти связь между переходной h(t) и передаточной К(р) функциями, рассмотрим соотношение

и предположим, что x(t) – единичная ступенчатая функция. Тогда y(t) = h(t) или в изображениях

,

и

. (7.4)

Комплексный коэффициент уси­ления системы получается из передаточной функции путём замены p=j, т. е.

(7.5)

K(j) представляет собой комплексное число и может быть записано в алгебраической и показательной формах:

Зависимость U=f( называют действительной (вещественной) ча­стотной характеристикой звена или соответственно системы. Зависимость V=f() — мнимая частотная характери­стика. Зависимость А=f() — амплитуд­ная частотная характеристика и =f() — фазовая частотная характеристика. За­висимость Л=f(lg) называют лога­рифмической частотной характеристикой. Характеристика , построенная в полярных координатах, называется амплитудно-фазовой частотной харак­теристикой.

П усть сис­тема образована несколькими последовательно включенными звеньями, на­пример тремя (рис. 7.3).

О

Рис.7.3.

бозначим: K₁(p) — передаточная функция первого звена; К₂(р) – второго; Кз(р) — третьего. Тогда операторные изображения выходных величин звеньев можно выразить через операторные изображения входных величин звеньев следующим образом:

Подставив первое во второе, а второе в третье получим:

или

где

Таким образом, для получения передаточной функции нескольких последовательно включённых звеньев следует перемножить передаточные функции этих звеньев.

Рис.7.4.

Пусть сис­тема образована несколькими параллельно включенными звеньями, на­пример тремя (рис.7.4).

Обозначим: K₁(p) — передаточная функция первого звена; К₂(р) – второго; Кз(р) — третьего. Тогда операторные изображения выходных величин звеньев можно выразить через опера- торные изображения входных величин звень- ев следующим образом:

Выходная величина всей системы определится как сумма выходных величин отдельных звеньев:

или

где

Таким образом, для получения передаточной функции нескольких параллельно включённых звеньев следует просуммировать передаточные функции этих звеньев.

-