12. Классическая и обобщенная модели множественной линейной регрессии.

К лассическая:

где i=1,2…n – номер наблюдения, число объясняющих переменных (х) равно р.

β_i-коэффициент чистой регрессии, показывает на сколько единиц изменится зависимая переменная, если независимая – х_i – изменится на единицу, при условии, что все остальные факторные переменные будут зафиксированы на среднем уровне, т.е. останутся неизменными.

матрица объясняющих переменных размера n×(p+1):

Возникает Предпосылка 6:

Векторы значений объясняющих переменных (столбцы матрицы Х) должны быть линейно независимыми, т.е. ранг матрицы – максимальный (X)=p+1

1. Случайный характер остатков

2. Математическое ожидание остатка е_i равно 0

3. Дисперсия остатка е_i постоянная для любого i – условие гомоскедастичности.

4. Отсутствие автокорреляции в остатках - значения остатков e_i распределены независимо друг от друга;

5. Остатки e_i есть нормально распределенные величины.

Первые 4 предпосылки являются предпосылками МНК. Если 5 предпосылка не выполняется, то модель называется классической.

О бобщенная линейная модель. (есть гетероскедостичность и/или автокорееляция) Предпосылки 1,2 остаются неизменными, а 3 и 4 заменяется на

Для устранения гетероскедостичности остатков применяют взвешенный МНК.

13. Нелинейные модели парной и множественной регрессии

Различают два класса нелинейных регрессионных моделей:

1. регрессия нелинейная относительно включенных в нее факторных (объясняющих) переменных, но линейная по оцениваемым параметрам:

   • парабола

   • гипербола

   • полулогарифмическая

   • уравнение полинома

2. нелинейная по оцениваемым параметрам:

   • степенная

   • показательная

   • экспоненциальная

Для оценки параметров можно использовать МНК, если свести нелинейные функции к линейным заменой параметров:

1.

• 

• 

• 

2.

• 

• 

• 

14. Системы одновременных эконометрических уравнений: виды, оценка параметров, области применения на практике.

При использовании уравнений регрессии (линейных и нелинейных, пар­ных и множественных) вида y = f(x) + e 7.1.1

предполагалось, что у - случайная, а х- неслучайные (детерминирован­ные) переменные. То есть, значения переменных х мы задаем, фиксируем, а за­тем наблюдаем получающиеся значения у. Данное допущение является одним из требований применения метода наименьших квадратов для оценки парамет­ров уравнения регрессии, поскольку оно обеспечивает отсутствие корреляции регрессоров х и случайных ошибок регрессии s и позволяет получить несме­щенные и состоятельные оценки.

Если рассматривая модель содержит стохастические регрессоры, то оцен­ки параметров, полученные методом наименьших квадратов:

- несмещенные и состоятельные, если объясняющие переменные и ошиб­ки регрессии не коррелируют;

- состоятельные, но смещенные, если объясняющие переменные корре­лируют с ошибками регрессии в более ранние моменты времени, но не корре­лируют в один и тот же момент времени;

- смещенные и несостоятельные, если объясняющие переменные и ошиб­ки регрессии коррелируют в том числе и в одинаковые моменты времени.

Одной из причин коррелированности регрессоров со случайными члена­ми могут служить факторы, действующие одновременно и на сами регрессоры, и на объясняемые переменные при фиксированных значениях регрессоров. Значения объясняемых переменных и регрессоров в этом случае формируются одновременно под воздействием некоторых внешних факторов. Одна и та же переменная рассматривается как факторная, независимая, а с другой - как ре­зультативная, случайная величина.

Например, если существует зависимость: 7.1.2

и одновременно 7.1.3

коэффициенты β ₂ и δ значимо отличаются от нуля. Тогда в модели 7.1.1. факторы - коллинеарные. Если же рассматривать только модель: то возникает коррелированностъ регрессора х₁ и ошибок регрессии ε, поскольку фактор х₂ действует одновременно и на у, и на x1, что приво­дит к смещенным и несостоятельным оценкам метода наименьших квадра­тов.

Поэтому естественным выходом из подобных ситуаций является по­строение не отдельных уравнений регрессии, а их систем, для оценивания которых применяются специальные методы.

Случайные переменные называют эндогенными, т.е. внутренними, так как они формируют свои значения внутри модели. Признаки, считающиеся заданными, известными, неслучайными получили название экзогенных, или внешних для данной системы. Один и тот же признак может быть эндоген­ным в одной задаче и экзогенным - в другой.

С точки зрения математической статистики, главное отличие между ними в том, что экзогенные переменные не коррелируют с ошибками рег­рессии. Если объединить в систему уравнения 7.1.1 и 7.1.2, эндогенными переменными будут у и x₁ экзогенной - х₂.

В зависимости от характера взаимосвязей между эндогенными и экзо­генными переменными выделяют системы рекурсивных (рекуррентных) и совместных, одновременных, взаимосвязанных уравнений.

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение в литературе получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели:

• косвенный метод наименьших квадратов (КМНК)

• двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК)

• трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК)

• метод максимального правдоподобия с полной информацией (ММП)

• метод максимального правдоподобия при ограниченной информации (ММП)

Эти методы достаточно легкореализуемы. Косвенный метод наименьших квадратов применяется для идетифицируемой системы одновременных уравнений, двухшаговый метод наименьших квадратов - для оценки коэффициентов сверхидентифицируемой модели.

Основной областью применения эконометрических моделей является построение макроэкономических моделей экономики целой страны. Это, главным образом, мультипликаторные модели кейнсианского типа. Модель спроса – предложения как пример системы одновременных уравнений.