48. Теоретико-системная методология синтеза стратегии решения научной проблемы

Системный подход, как методология исследования, позволяет превращать в систему любые научные проблемы, раскрывая их структуру и выявляя системные свойства самих научных проблем. Последовательность рассмотрения проблемы:1) формулировка и научное обоснование проблемы (проведение так называемого диагностического анализа), это позволяет сформулировать ядро проблемы. Для этого нужно выяснить: актуальность проблемы, историю проблемы, связь с другими смежными проблемами. 2) структуризация проблемы. При структуризации выделяют три аспекта – теоретико-методологический аспект (качественный анализ проблемы (методология, категории, методы)), количественно-аналитический аспект (уровни, тенденции, факторы, закономерности), прикладной (прагматический) аспект (резервы, пути реализации резервов, мероприятия, проектирование новой системы). Прикладной аспект исследования связан с конечной реализацией цели исследования проблемы. По существу, на этом этапе решается переход системы из прежнего состояния в новое, иначе говоря, создаётся система нового качества

Используемые понятия:

Научная проблема – проблема, формулируемая в виде гипотезы, которая допускает опытную проверку с помощью различных методов. У научной проблемы есть предмет изучения (т.е. что мы изучаем?) и процедура доказательства.Метод— систематизированная совокупность шагов, которые необходимо предпринять, чтобы выполнить определенную задачу или достичь определенной цели; способ постижения истины.Методология - система наиболее общих принципов, положений и методов, составляющих основу той или иной науки; это учение об организации деятельности. Гипо́теза — недоказанное утверждение, предположение или догадка.Генезис - любая научная теория, описывающая происхождение, возникновение, становление, развитие, метаморфозы и гибель объектов.

49. Понятие о формальных системах. Формальная теория и интерпретация

Формальная система—система, определяемая алфавитом, синтаксисом (правилами построения формул из символов алфавита), аксиоматикой (множеством формул, считающихся теоремами a priori) и правилами вывода новых теорем. Формальная система – это совокупность абстрактных объектов (символов), для которой определены правила оперирования данными символами вне зависимости от их возможного смысла. Формальную систему образуют:алфавит (рекурсивно перечислимый набор произвольных символов),синтаксис (рекурсивно перечислимое непустое множество правил построения формул (слов) из символов алфавита), аксиоматика (конечное непустое множество формул (слов), называемых аксиомами), множество продукционных правил (должно быть рекурсивно перечислимым и не пустым)

Конструктивное определение. Формальную систему образуют:

алфавит - рекурсивно перечислимый набор произвольных символов

синтаксис - рекурсивно перечислимое непустое множество правил построения формул (слов) из символов алфавита

аксиоматика - конечное непустое множество формул (слов), называемых аксиомами

множество продукционных правил-должно быть рекурсивно перечислимым и не пустым

Дескриптивное определение1

Формальная система – это неинтерпретированное исчисление, предполагающее подразделение символьных последовательностей на классы теорем и нетеорем

Исчисление – это основанный на чётко сформулированных правилах формальный аппарат оперирования со знаками определённого вида, позволяющий дать исчерпывающе точное описание некоторого класса задач

Дескриптивное определение 2

Формальная система – это совокупность абстрактных объектов (символов), для которой определены правила оперирования данными символами вне зависимости от их возможного смысла

Признаки формальной системы:

1. Наличие конечного алфавита (словарь). Количество символов, которым мы будем оперировать.

2. Правило построений формул. Формулы не могут быть неправильно построенными, но могут быть неверными, но правильно построенными.

3. Должно быть задано конечное число аксиом (или выделено конечное число формул, которые мы не доказываем). Аксиома – это формула, считающейся истинной без доказательства.

4. Правила вывода. Позволяют выводить теоремы из аксиом или других теорем. Теорема – формула, истинность которой доказана с помощью правил вывода из аксиом или других теорем.

Изоморфизм - как понятие теории формальных систем  — логико-математическое понятие, означающее отношение взаимного подобия двух систем. Формальная система (символьная система, знаковая система) — система, определяемая алфавитом, синтаксисом (правилами построения формул из символов алфавита), аксиоматикой (множеством формул, считающихся теоремами a priori) и правилами вывода новых теорем. Если одна ф.с. интерпретируется в другую ф.с. посредством некоторого множества формул третьей ф.с., то первая ф.с. является гомоморфной второй в смысле упомянутого множества формул.

Если одна ф.с. гомоморфна другой, а другая – первой в смысле некоторого множества формул третьей ф.с., то они изоморфны в смысле этого множества формул

Теоремой в теории формальных систем называется одно из нижеследующего: аксиома результат применения продукционного правила к теореме (или теоремам)Доказательством называется граф-дерево, корневая вершина которого соответствует некоторой формуле, дуги – продукционным правилам, терминальные вершины – аксиомам.

Формальная теория — множество теорем некоторой формальной системы (как конечное, так и бесконечное число теорем). При интерпретации теоремы ф.с. соответствуют истинным утверждениям об объекте.

Если доказательство существует, то всегда существует алгоритм его построения за конечное число шагов. Тем не менее, не любая формальная теория (т.е. множество теорем) рекурсивно перечислима. Могут существовать ф.с., в которых формулы, которые не могут быть доказаны за к.ч.ш. по одному алгоритму, допускают конечное доказательство по другому (третьему, …), и наоборот.

Если формула не является теоремой, то может не существовать алгоритма, устанавливающего, что формула не является теоремой. Существуют такие формальные системы, множество нетеорем которых не является рекурсивно перечислимым. В частных случаях, однако, алгоритмы рекурсивного перечисления нетеорем могут существовать. Например, они всегда существуют, если множество слов конечно.

Теорией (формальной теорией) называется множество всех теорем формальной системы.

Теории могут содержать как конечное, так и бесконечное число теорем.

Теоремой в теории формальных систем называется одно из нижеследующего:

1. аксиома; 2. результат применения продукционного правила (Продукционное правило – правило вида "УСЛОВИЕ-ДЕЙСТВИЕ", Если "УСЛОВИЕ", то "ДЕЙСТВИЕ" и т.п.) к теореме (или теоремам)

Доказательством называется граф-дерево, корневая вершина которого соответствует некоторой формуле, дуги – продукционным правилам, терминальные вершины – аксиомам.

Формула является теоремой тогда и только тогда, когда для неё существует доказательство.

Интерпретация — отношение, отображающее формулы одной формальной системы на формулы другой формальной системы; отношение, отображающее формулы формальной системы на переменные и связи реальной системы . Интерпретация наделяет смыслом символы и формулы формальной системы. Одна и та же ф.с. может служить моделью различных множеств объектов реального мира (систем).

Интерпретация одной ф.с. в другую ф.с требует задания третьей ф.с., содержащей алфавиты и синтаксис обеих ф.с., синтаксис описания соответствий между формулами двух ф.с.и представляет собой правила построения формул, рекурсивно перечисляющие все пары формул двух ф.с., между которыми устанавливается соответствие.Интерпретация ф.с. в объекты реального мира представляет собой её интерпретацию в ф.с., используемую мыслительным аппаратом человека, в этом смысле не отличается от интерпретации одной ф.с. в другую, единственное отличие состоит в том, что мы не располагаем определением алфавита, синтаксиса, аксиоматики и продукционных правил ф.с. человеческого мышления.

Интерпретация – это распространение положений какой-либо формальной системы на объекты реального мира или другой формальной системы. Интерпретация наделяет смыслом символы и формулы формальной системы. При интерпретации теоремы ф.с. соответствуют истинным утверждениям об объекте желательно, чтобы нетеоремы соответствовали ложным утверждениям, но не во всех интерпретациях это достижимо. Одна и та же ф.с. может служить моделью различных множеств объектов реального мира (систем). Интерпретация одной ф.с. в другую ф.с.: требует задания третьей ф.с., содержащей: алфавиты и синтаксис обеих ф.с. синтаксис описания соответствий между формулами двух ф.с. представляет собой: правила построения формул, рекурсивно перечисляющие все пары формул двух ф.с., между которыми устанавливается соответствие. может быть осуществлена с помощью: исчисления предикатов I порядка при условии, что некоторые константы исчисления предикатов кодируют формулы двух формальных систем; любого другого универсального метаязыка. Интерпретация ф.с. в объекты реального мира: представляет собой её интерпретацию в ф.с., используемую мыслительным аппаратом человека. в этом смысле не отличается от интерпретации одной ф.с. в другую. Единственное отличие состоит в том, что мы не располагаем определением алфавита, синтаксиса, аксиоматики и продукционных правил ф.с. человеческого мышления. Теоретически также может быть осуществлена с помощью исчисления предикатов I порядка. Корректность интерпретации может быть доказана средствами той ф.с., с помощью которой установлена интерпретация, (т.е. средствами которой заданы правила рекурсивного перечисления пар соответствующих формул двух ф.с.). Для этого необходимо иметь определения обеих ф.с.: субъектной (интерпретируемой) и объектной, включая алфавит, синтаксис, аксиоматику, продукционные правила для ф.с. человеческого мышления это не выполняется. Интерпретация позволяет использовать объектную ф.с. в качестве средства доказательства метатеорем (теорем о теоремах субъектной ф.с.) например: формулы с таким-то синтаксисом не могут являться теоремами субъектной ф.с.; все формулы с таким-то синтаксисом – теоремы субъектной ф.с. Интерпретация и доказательство метатеорем часто позволяют перечислить нетеоремы субъектной ф.с. в том случае, если её собственные правила вывода не позволяют это сделать.