1.4.1Классификация математических моделей

Математическая модель любого объекта (процесса, явления) включает три группы элементов.

1. Характеристики объекта, которые нужно определить:

Y = {y₁, y₂, . . . , y_n};

2. Характеристики внешних условий:

X = {x₁, x₂,. . . , x_m};

3. Совокупность внутренних параметров объекта:

Z = {z₁, z₂,. . . , z_k}.

Множество условий Х и параметров Z могут рассматриваться как экзогенные величины (определяемые вне модели), а вектор Y определяет эндогенные величины, рассчитываемые с помощью модели.

Математическую модель можно интерпретировать как особый преобразователь внешних условий Х (вход объекта) в искомые характеристики Y (выход объекта).

По способам выражения соотношений между X, Z и Y модели делятся два основных вида структурные и функциональные.

Структурные модели отражают внутреннюю организацию объекта, его составные части, связи с входом и выходом и т. д.

Существует три вида структурных моделей:

1. Все неизвестные Y_j выражаются в виде явных функций от внешних условий (X) и внутренних параметров объекта (Z)

Y_j = f_j(X, Z), где j=1,2,..n (1.1);

2. Неизвестные Y_j определяются из решения системы известных соотношений (неравенств, уравнений и т. д.) вида

G_j(X, Z, Y) = 0, где j=1,2,..n (1.2);

3. Модель включает соотношения вида (1.2), но конкретный вид этих соотношений неизвестен. Модель как бы недостроена, определен только ее каркас.

Структурные модели (1.1) и (1.2) - это вполне определенные математические задачи, которые можно решать аналитическими или численными методами.

Структурные модели третьего типа возникают при попытках математического описания сложных систем, например, экономических или экологических. Для их исследования используются сравнительно новые математические дисциплины: исследование операций, теории случайных процессов, игр и статистических решений, массового обслуживания и т. д. Кроме того, активную роль в процессе разработки моделей этого вида играет ЭВМ. Совокупность подходов и методов к исследованию моделей рассматриваемого типа объединяется термином имитационное моделирование. Модели этого вида занимают промежуточное место между структурными и функциональными моделями.

Основная идея функциональных моделей - познание сущности объекта через важнейшие проявления этой сущности: деятельность, функционирование, поведение. Внутренняя структура объекта при этом не изучается. Объект, изучаемый посредствам функциональной модели, абстрактно можно представить в виде "черного ящика", внутренняя структура которого совершенно не видна. Функциональная модель имитирует поведение объекта так, что, задавая значения ”входа" X можно получать значения "выхода" Y.

Y = D(X) (1.3)

Построить функциональную модель - это значит, отыскать оператор D, преобразующий X в Y. Функциональные модели используются в экономическом регулировании.

Классификацию экономико-математических моделей можно производить по различным признакам (рис. 2).

Теоретико-аналитические экономико-математические модели используются при исследовании общих закономерностей и свойств экономических процессов.

Прикладные экономико-математические модели применяются для решения конкретных экономических задач (модели экономического анализа, прогнозирования, управления).

Для пассивного прогноза используются дескриптивные модели, которые объясняют наблюдаемые факты, отвечая на вопросы: «Как это происходит. Как это может развиваться дальше». Применение дескриптивного подхода в моделировании объясняется необходимостью эмпирического (экспериментального) выявления различных факторов, изучение вероятных путей в развитии. Когда знаний не хватает, то целесообразно умение искусственно воспроизводить (имитировать) экономический процесс. Примерами дескриптивных моделей являются некоторые виды производственных функций и функций покупательского спроса.

Нормативные модели отвечают на вопрос: «Как это должно быть», т.е. предполагают целенаправленную деятельность. Типичным примером нормативной модели является модель оптимального планирования.

Рис. 2. Классификация экономико-математических моделей