49. Описати алгоритм побудови довірчих інтервалів із заданою надійністю  для параметрів β0,β1 і функції регресії Використання розподілу Стьюдента.

Припускається, що випадкові величини емпіричних коефіцієнтів bj мають нормальний розподіл. Робочі формули t-статистики ti = (bi-i)/Sbi

мають розподіл Стьюдента зі ступенями вільності (n-2).

Для визначення 100(1-)% довірчого інтервалу за допомогою таблиць критичних точок розподілу Стьюдента та довірчої ймовірності  = 1- з (n-2) ступ. волі шукається t-критичне, яке має задовольняти умову:

P(|t|t/2(n-2))=1-

Підставляючи кожну статистику в попередній результат, відповідно будемо мати:

P(-t/2(n-2) (bi-i)/Sbi t/2(n-2))=1-.

Після перетворень матимемо:

bi-t/2(n-2)Sbiibi+t/2(n-2)Sbi.

Це і є довірчі інтервали, які з надійністю (1-) покривають теоретичні параметри i.

Фактично довірчий інтервал визначає значення теоретичних коефіцієнтів регресії, які будуть придатні при знайдених оцінках емпіричних коефіцієнтів bi.

50. Побудова точкового та інтервального прогнозу залежної змінної в моделі парної лінійної регресії.

Розглянемо спочатку точковий прогноз і припустимо, що ми визначили його як деяку лінійну функцію від , тобто

(4.20)

де і — номер спостереження ( ); — вагові коефіцієнти значень . (Їх потрібно вибрати так, щоб зробити найкращим лінійним незміщеним прогнозом).

Оскільки то незміщена оцінка прогнозу

(4.21)

Підставивши в (4.16) значення із (4.17), запишемо , або

де j — номер пояснювальної змінної, .

Тоді незміщену оцінку прогнозу (4.17) можна обчислити за формулою

Отже, буде незміщеним лінійним прогнозом лише тоді, коли = 1 і . (4.22)

Дисперсія матиме вигляд

Доходимо висновку: чим менше значення , тим кращий прогноз .

З огляду на сказане можемо записати:

 = 1;

дисперсія прогнозу

Вона зростає з віддаленням значення від відповідного середнього значення вибірки.

У матричному вигляді дисперсія прогнозу

Середньоквадратична помилка прогнозу

,

Довірчий інтервал для прогнозних значень

або

Отже, інтервальний прогноз індивідуального значення визначається як

або

51. Описати алгоритм перевірки на статистичну значущість β1.

Для того щоб перевірити на статистичну значущість β1 висувається нульо­ва гіпотеза про рівність нулю теоретичного коефіцієнта за альтернативної гіпотези, що він не дорівнює нулеві.Сформульовану гіпотезу називають гіпотезою про статистич­ну значущість коефіцієнта регресії. При цьому, перевіряючи правдивість Но ми можемо мати два наслідки:

Н₀ відхиляється — це означає, що (З, вважається статистич­но значущим, а це інформує нас про існування лінійної залежно­сті між УтаХ; Н₀_ не відхиляється (немає підстав для її відхилення) — в цьому разі можемо зробити висновок, що між змінними УтаХ не існує лінійної залежності, оскільки статистично не значущий.

Для перевірки правильності Н0 нам потрібно порівняти табличний розподіл Стьюдента із k-2 ступенями свободи з значенням tрозр=ai/сигма розр ai.

Якщо розрахункове значення перевищує табличне за абсолютною величиною, то оцінку параметра можна вважати значимою з обраною надійністю. Навпаки, якщо розрахункове значення менше за табличне,то оцінку параметра не можна вважати значимою.