21. Економічна інтерпретація прямої та двоїстої задач лінійного програмування

Кожна задача лінійного програмування пов’язана з іншою, так званою двоїстою задачею.

Економічну інтерпретацію кожної з пари таких задач розглянемо на прикладі виробничої задачі (§ 2.1).

Пряма задача: max F = c₁x₁ + c₂x₂ + … + c_nx_n (3.1)

за умов: (3.2)

Необхідно визначити, яку кількість продукції кожного j-го виду необхідно виготовляти в процесі виробництва, щоб максимізувати загальну виручку від реалізації продукції підприємства. Причому відомі: наявні обсяги ресурсів — ; норми витрат і-го виду ресурсу на виробництво одиниці j-го виду продукції — , а також — ціни реалізації одиниці j-ої продукції.

Розглянемо тепер цю саму задачу з іншого погляду. Допустимо, що за певних умов доцільно продавати деяку частину чи всі наявні ресурси. Необхідно визначити ціни ресурсів. Кожному ресурсу поставимо у відповідність його оцінку . Умов­но вважатимемо, що — ціна одиниці і-го ресурсу.

На виготовлення одиниці j-го виду продукції витрачається згід­но з моделлю (3.1)—(3.3) m видів ресурсів у кількості відповідно . Оскільки ціна одиниці і-го виду ресурсу дорівнює , то загальна вартість ресурсів, що витрачаються на виробництво одиниці j-го виду продукції, обчислюється у такий спосіб:

.

Продавати ресурси доцільно лише за умови, що виручка, отримана від продажу ресурсів, перевищує суму, яку можна було б отримати від реалізації продукції, виготовленої з тих самих обсягів ресурсів, тобто:

.

Загальну вартість ресурсів можна виразити формулою:

.

Отже, в результаті маємо двоїсту задачу:

(3.4)

за умов: (3.5)

(3.6)

Тобто необхідно визначити, які мінімальні ціни можна встановити для одиниці кожного і-го виду ресурсу , щоб продаж ресурсів був доцільнішим, ніж виробництво продукції.

25. Сутність аналізу розв’язків лінійних економіко-математичних моделей. Оцінка рентабельності продукції. Доцільність введення нової продукції.

Симплекс-таблиця спряженої задачі містить оптимальні плани прямої та двоїстої задач.

Оптимальний план прямої задачі позначається через Х*, а оптимальний план двоїстої - Y*.

Основні змінні оптимального плану прямої задачі означають обсяги виробництва відповідних видів продукції. Додаткові змінні оптимального плану прямої задачі характеризують залишки (невикористані обсяги) відповідних ресурсів. Оптимальний план двоїстої задачі дає оптимальну систему оцінок ресурсів, що використовуються у виробництві.

Основні змінні двоїстої задачі відповідають додатковим змінним прямої, що характеризують обсяги невикористаних ресурсів. За третьою теоремою двоїстості відомо: якщо деяка основна змінна оптимального плану двоїстої задачі уі ≠ 0, то зміна (збільшення або зменшення) обсягу відповідного і-го ресурсу приводить до зміни значення цільової функції на величину уі. Якщо уі = 0, то значення цільової функції залишається незмінним.

Додаткові змінні оптимального плану двоїстої задачі відповідають основним змінним прямої задачі і, оскільки останні означають обсяги виробництва кожного виду продукції, відповідні їм у також у певний спосіб мають характеризувати виробництво відповідних видів продукції. За правилами побудови двоїстої задачі очевидно, що додаткові змінні оптимального плану двоїстої задачі показують, наскільки вартість ресурсів перевищує ціну одиниці відповідної продукції. Отже, вони відносно характеризують збитковість виробництва відповідних видів продукції.

Оцінку рентабельності продукції, що виготовляється на підприємстві, можна здійснювати за допомогою двоїстих оцінок та обмежень двоїстої задачі, які характеризують кожний вид продукції.

Ліва частина кожного обмеження двоїстої задачі є вартістю відповідних ресурсів, які використовують для виробництва одиниці j-ї продукції. Якщо ця величина перевищує ціну одиниці продукції (сj), то виготовляти таку продукцію невигідно, вона нерентабельна і в оптимальному плані прямої задачі відповідна їй змінна хj = 0. Якщо ж загальна оцінка всіх ресурсів дорівнює ціні одиниці продукції, то виготовляти таку продукцію доцільно, вона рентабельна і в оптимальному плані прямої задачі відповідна змінна хj > 0.

Підставимо значення оптимального плану двоїстої задачі Y* у її систему обмежень. Якщо вартість ресурсів на виробництво одиниці продукції (ліва частина обмеження) перевищує ціну цієї продукції (права частина обмеження), то виробництво такої продукції для підприємства недоцільне. Якщо ж співвідношення виконується як рівняння, то продукція рентабельна.