35. Геометрична інтерпретація задач нелінійного програмування.

Геометрично цільова функція визначає деяку поверхню, а обмеження — допустиму підмножину n-вимірного евклідового простору. Знаходження оптимального розв’язку задачі нелінійного програмування зводиться до відшукання точки з допустимої підмножини, в якій досягається поверхня найвищого (найнижчого) рівня. Якщо цільова функція неперервна, а допустима множина розв’язків замкнена, непуста і обмежена, то глобальний максимум (мінімум) задачі існує. Найпростішими для розв’язування є задачі нелінійного програмування, що містять систему лінійних обмежень та нелінійну цільову функцію. В цьому разі область допустимих розв’язків є опуклою, непустою, замкненою, тобто обмеженою.

31. Сутність методу Гоморі.

Нехай маємо задачу цілочислового програмування. 1.Знаходять розв'язок послабленої, тобто задачі без вимог цілочисловості змінних Якщо серед елементів умовно-оптимального плану немає дробових чисел, то цей план є оптимальним планом задачі цілочислового програмування 2.Коли в умовно-оптимальному плані є дробові значення, товибирається змінна, яка має найбільшу дробову частину. На базі цієї змінної (елементів відповідного рядка останньої симплексної таблиці, в якому вона міститься) будується додаткове обмеження Гоморі:де символ {} позначає дробову частину числа. Для визначення дробової частини будь-якого числа від цього числа віднімають цілу його частину - найбільше ціле число, що неперевищує даного Цілу частину числа позначають символом [ ]. Наприклад :Додаткове обмеження після зведення його до канонічного вигляду і введення базисного елемента приєднується до останньої симплексної таблиці, яка містить умовно-оптимальний план. Здобуту розширену задачу розв'язують, а далі перевіряють її розв'язок на цілочисювість. Якщо він не цілочисловий, то процедуру повторюють повертаючись до пункту 2.Так діють доти, доки не буде знайдено цілочислового розв'язку або доведено, що задача не має допустимих розв'язків у множині цілих чисел. Досвід показує, що процес розв'язування задач великої розмірності методом Гоморі повільно збіжний. Істотними є також похибки округлення, які можуть призвести до того, що отриманий цілочисловий план не буде оптимальним.

32. Економічна і математична постановка задачі дробово-лінійного програмування

Розв’язуючи економічні задачі, часто як критерії оптимальнос­ті беруть рівень рентабельності, продуктивність праці тощо. Ці показники математично виражаються дробово-лінійними функціями. Загальну економіко-математичну модель у цьому разі записують так (розглянемо задачу визначення оптимальних обсягів виробництва продукції): позначимо через cjприбуток від реалізації одиниці j-го виду продукції, тоді загальний прибуток можна виразити формулою: ; якщо dj — витрати на виробницт­во одиниці j-го виду продукції, то — загальні витрати на виробництво. У разі максимізації рівня рентабельності вироб­ництва цільова функція має вигляд:

за умов виконання обмежень щодо використання ресурсів:

.

Передбачається, що знаменник цільової функції в області допустимих розв’язків системи обмежень не дорівнює нулю.

Очевидно, що задача (7.1)—(7.3) відрізняється від звичайної задачі лінійного програмування лише цільовою функцією, що дає змогу застосовувати для її розв’язування за певного модифікування вже відомі методи розв’язання задач лінійного програмування.