Колебательный контур

Электромагнитные колебания — это колеба­ния электрических и магнитных полей, которые со­провождаются периодическим изменением заряда, тока и напряжения.

Простейшей замкнутой электрической системой, где могут возникнуть и существовать свободные электромагнитные коле­бания, является колебательный контур.

Колебатель­ный контур — это система, состоящая из катушки индуктивности и конденсатора, включенных параллельно друг другу.

Обычно активное сопротивление проводов катушки пренебрежимо мало (R ≈ 0)

Если кон­денсатор зарядить и замкнуть на катушку, то по ка­тушке потечет ток разряда конденсатора. Сила тока не сразу достигает максимального значения, а увеличивается постепенно. Это обусловлено явлением самоин­дукции в катушке.

В момент, когда конденсатор пол­ностью разрядится, энергия элек­трического поля конденсатора станет равной нулю. Энер­гия же тока (энергия магнитного поля катушки) согласно закону сохранения энергии будет максимальной. Следовательно, в этот мо­мент сила тока также достигнет макси­мального значения

Несмотря на то что к этому моменту разность потенциалов на концах катушки становится равной нулю, электрический ток не может прекратиться сразу. Этому препятствует явление самоиндукции. Как только сила тока и созданное им магнит­ное поле начнут уменьшаться, возникает вихревое электрическое поле, которое на­правлено по току и поддерживает его.

Индукционный ток, в соот­ветствии с правилом Ленца, теперь будет течь в ту же сто­рону что и спадающий ток разряда конденсатора и перезарядит конденсатор.

В результате конденсатор перезаряжается до тех пор, пока ток, постепенно уменьшаясь, не станет равным нулю.

Энергия магнитного поля в этот момент также будет равна нулю, а энергия электрического поля конденсатора опять станет максимальной.

Когда ток прекратится, процесс повто­рится в обратном направлении.

Электромагнитные колебания в колебательном контуре сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнитного полей.

В реальном колебательном контуре свободные электромагнитные колебания будут затухающими из-за потерь энергии на нагревание проводов.

Энергия электрического поля конденсатора (W_Cmax = ) в колебательном контуре переходит в энергию магнитного поля катушки (W_Lmax = ) и обратно.

Поэтому эти колебания называют электромагнитными.

Для полной энергии системы в любой момент времени возможно записать:

W_C + W_L = + = + = const (учитывая, что по определению емкости С = )

Как известно, для полной цепи  = u + iR

 = u + iR,  = _i = -L = - Li’  - Li’ = + iR (учитывая, что С = )

i = = q’(по определению тока, как скорости изменения заряда)

i’ = q’’

Окончательно имеем дифференциальное уравнение колебательного контура:

- Li’ = + iR  lq’’ + Rq’ + = 0

Полагая, что в идеальном случае R  0, получим дифференциальное уравнение:

Lq’’ + = 0  q’’ + q = 0

Решением этого дифференциального уравнения является функция:

q = q_maxcos(ω₀t + φ) , где ω₀ =

Колебания в контуре будут гармоническими.

Величину ₀ называют собственной круговой (циклической) частотой колебаний в контуре. Она равна числу колебаний за 2π секунд:

ω₀ =

Найдём связь между периодом колебаний Т и собственной частотой контура ω₀.

Значения колеблющейся величины в моменты времени t₁ и t₂ = t₁+T, где Т — период колебания, согласно определению периода равны между собой:

q(t₁) = q_max cos(ω₀t₁ + φ)

q(t₂) = q_max cos(ω₀t₂ + φ) = q_max cos(ω₀(t₁+Т) + φ)

q(t₁) = q(t₂) = q_max cos(ω₀t₁ + φ) = q_max cos(ω₀t₁ + φ + ωТ)

Это возможно, ес­ли ω₀Т = 2π, поскольку косинус - периодическая функция с периодом 2 радиан:

T = = = 2π

Формула Томсона:

Период электромагнитных колебаний в иде­альном колебательном контуре (т.е. в таком контуре, где нет потерь энергии) зависит от индуктивности катушки и емкости конденсатора и находится по формуле, впервые полученной в 1853 г. английским ученым Уильямом Томсоном:

Т = 2π

Частота с периодом связана обратно пропорциональной зависимостью ν = 1/Т.

Для практического применения важно получить незату­хающие электромагнитные колебания, а для этого необходимо колебательный контур пополнять элек­троэнергией, чтобы скомпенсировать потери.

Для получения незатухающих электромагнитных колебаний применяют генератор незатухающих ко­лебаний, который является примером автоколеба­тельной системы.

См.ниже «Вынужденные электрические колебания»

СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В КОНТУРЕ

См.выше «Колебательный контур»

ПРЕВРАЩЕНИЕ ЭНЕРГИИ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

См.выше «Колебательный контур»

СОБСТВЕННАЯ ЧАСТОТА КОЛЕБАНИЙ В КОНТУРЕ

См.выше «Колебательный контур»

ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

ДОБАВИТЬ ПРИМЕРЫ СХЕМ

Если в контуре, в состав которого входят индуктивность L и емкость С, каким-то образом зарядить конденсатор (например, путем кратковременного подключения источника питания), то в нем возникнут периодические затухающие колебания:

u = U_max sin(ω₀t + φ) e^-αt

ω₀ = (Собственная частота колебаний контура)

Для обеспечения незатухающих колебаний в состав генератора должен обязательно входить элемент, способный вовремя подключить контур к источнику питания, — ключ или усилитель.

Для того чтобы этот ключ или усилитель открывался только в нужный момент, необходима обратная связь от контура на управляющий вход усилителя.

Генератор синусоидального напряжения LC-типа должен иметь три основных узла:

- резонансный контур

- усилитель или ключ(на электронной лампе, транзисторе или другом элементе)

- обратную связь

Рассмотрим работу такого генератора.

Если конденсатор С заряжен и происходит его перезарядка через индуктивность L таким образом, что ток в контуре протекает против часовой стрелки, то в обмотке, имеющей индуктивную связь с контуром, возникает э. д. с., запирающая транзистор Т. Контур при этом отключен от источника питания.

В следующий полупериод, когда происходит обратная перезарядка конденсатора, в обмотке связи индуктируется э.д.с. другого знака и транзистор приоткрывается, ток от источника питания проходит в контур, подзаряжая конденсатор.

Если количество энергии, поступившей в контур, меньше, чем потери в нем, процесс начнет затухать, хотя и медленнее, чем при отсутствии усилителя.

При одинаковом пополнении и расходе энергии колебания незатухающие, а если подпитка контура превышает потери в нем, то колебания становятся расходящимися.

Для создания незатухающего характера колебаний обычно используется следующий метод: при малых амплитудах колебаний в контуре обеспечивается такой коллекторный ток транзистора, при котором пополнение энергии превышает ее расход. В результате амплитуды колебаний возрастают и коллекторный ток достигает значения тока насыщения. Дальнейший рост базового тока не приводит к увеличению коллекторного, и поэтому нарастание амплитуды колебаний прекращается.