Действующие значения силы тока и напряжения

При включении в цепь переменного тока амперметра, рассчитанного на измерение постоянного тока, его стрелка будет колебаться с частотой тока. Определить значение тока будет невозможно.

Среди известных действий электрического тока – химического, магнитного и теплового, только тепловое действие не зависит от изменения направления тока. На резисторе P = I²R

Сила переменного тока 1А – сила тока, выделяющего в проводнике такое же количество теплоты, что и постоянный ток в 1А за тот же промежуток времени.

Действующее значение силы переменного тока равно силе постоянного тока, при котором в проводнике выделяется такое же количество теплоты, что и при переменном токе за тот же промежуток времени.

Амперметр переменного тока измеряет (и показывает) действующее значение силы тока.

Если переменный ток изменяется по гармоническому закону, в качестве промежутка времени выбирается период изменения тока.

На резисторе, при совпадении фаз тока и напряжения, мощность переменного тока равна,

учитывая что cos²(ωt) = (1 + cos(2ωt)):

p = iu = i²R = I²_maxR cos²(ωt) = + cos(2ωt)

Частота изменения тепловой мощности вдвое больше частоты силы тока.

Равенство количества теплоты, выделяемого за период переменным и постоянным током, означает равенство средних тепловых мощностей этих токов.

Средняя мощность, выделяемая за период переменным гармоническим током, учитывая что p = I²_maxR cos²(ωt) и среднее значение квадрата косинуса за период равно 1/2:

=

Такая же мощность выделяется на резисторе при протекании постоянного тока с действующим значением равным соответствующему переменному току:

P = I_д²R

Так как исходя из определения действующего значения тока мощности равны, то:

I_д =

Действующее (эффективное) значение силы переменного гармонического тока в меньше его амплитуды.

Аналогично определяется действующее (эффективное) значение переменного гармонического напряжения:

U_д =

Активное, емкостное и индуктивное сопротивления

Активное сопротивление

Активным сопротивлением R называется физическая величина, равная отношению мощности к квадрату силы тока R = , что получается из выражения для мощности P = IU = I²R.

При небольших частотах практически не зависит от частоты и совпадает с электрическим сопротивлением проводника.

В цепях переменного тока резистор часто называют активным сопротивлением

Активное сопротивление – сопротивление элемента электрической цепи, в котором электрическая энергия необратимо преобразуется во внутреннюю.

Напряжение, созданное генератором на резисторе, меняется по гармоническому закону:

u = U_m cos (t)

По закону Ома сила тока в резисторе будет:

i = u/R = U_m /R cos (t) = I_m cos (t)

где I_m = U_m /R – амплитуда силы тока

Напряжение и сила тока а резисторе совпадают по фазе в любой момент времени.

Скин-эффект

На высоких частотах начинает проявляться «скин-эфект»(от английского skin – кожа) Электроны, создающие ток в проводнике, вытесняются к его поверхности. В результате ток течет не по всей площади поперечного сечения проводника, а лишь по его поверхностному слою. Такое уменьшение сечения, через которое течет ток, ведет к возрастанию активного сопротивления проводника.(См. формулу удельного сопротивления) Поэтому на высоких частотах проводники можно делать полыми.

Индуктивное сопротивление

Пусть в цепь переменного тока u = U_m cos (ωt) включена катушка.

При изменении силы тока в катушке возникает ЭДС самоиндукции:

ε_si = - L

Так как электрическое сопротивление катушки близко к нулю, то в любой момент времени ЭДС самоиндукции равна по модулю и противоположна по знаку напряжению на катушке, созданному внешним генератором:

ε_si – u = 0

L = U_m cos(ωt) (дифференциальное уравнение относительно i)

Решением этого уравнения ищется в виде:

i = I_m sin(ωt)

Подстановка этого решения в дифференциальное уравнение дает:

L = L = ωLI_m cos(ωt) = U_m cos(ωt)

Следовательно, амплитуда силы тока I_m в катушке связана с амплитудой переменного напряжения U_m законом Ома:

I_m =

Отношение амплитуды колебаний напряжения на катушке к амплитуде колебаний тока называется индуктивным сопротивлением:

x_L = = ωL

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте переменного тока.

u = U_m cos (ωt)

i = I_m sin(ωt) = I_m cos(ωt - )

Колебания силы тока в катушке индуктивности отстают по фазе на π/2 от колебаний напряжения на ней.

Мгновенная мощность переменного тока в катушке:

p = iu = 0.5 I_mU_m sin (2ωt)

Среднее значение мощности на катушке за период Т равно нулю.

Элементы цепи, для которых средняя мощность переменного тока равна нулю, обладают реактивным сопротивлением.

Индуктивное сопротивление является реактивным сопротивлением.

Емкостное сопротивление

Конденсатор в цепи постоянного тока

Через конденсатор постоянный ток протекать не может, так как цепь оказывается разомкнутой. Между пластинами конденсатора нет свободных носителей заряда.

Если обкладки заряженного конденсатора соединить через нагрузку, наблюдается кратковременный ток разряда конденсатора.

Оценим время разряда конденсатора емкостью С через резистор R. В отсутствие внешней ЭДС суммарная разность потенциалов в контуре на резисторе и конденсаторе равна нулю:

U_R + U_C = 0 или IR + U_C = 0

ток разряда: I = q’ = CU’_C

Получаем дифференциальное уравнение:

IR + U_C = RCU’_C + U_C = RC + U_C =0

Изменение напряжения на конденсаторе в единицу времени:

U’_C = =

где τ_C = RC - время релаксации R-C цепи, определяющее время разрядки конденсатора через R

Напряжение - U_C характеризует полное изменение напряжения на конденсаторе при его разрядке.

Геометрически производная U’_C характеризуется тангенсом угла наклона касательной в кривой U_C(t).

При t = 0 касательная пересекает ось t в точке τ_C = RC – время релаксации R-C цепи.

При подключении разряженного конденсатора к источнику постоянного напряжения в цепи возникает кратковременный ток заряда конденсатора, который заряжает его до напряжения источника питания.

После зарядки конденсатора ток прекращается.

Время релаксации τ_C = RC характеризует, как время разрядки, так и время зарядки конденсатора.

Конденсатор в цепи переменного тока

Пусть в цепи переменного тока находится конденсатор. При его включение он четверть периода заряжается, потом столько же разряжается, потом то же самое, но со сменой полярности.

При изменении напряжения на конденсаторе по гармоническому закону u = U_maxcos(ωt) заряд на его обкладках равен q = Cu = U_maxC cos(ωt).

Ток в цепи возникает при изменении заряда:

i = q’ = - ωU_maxC sin(ωt) = ωU_maxC cos(ωt + ) = I_max cos(ωt + )

Аналогично случаю с катушкой амплитуда колебаний силы тока равна:

I_max = ωU_maxC

Колебания силы тока в цепи конденсатора опережают по фазе на π/2 колебания напряжения на его обкладках.

Мгновенная мощность переменного тока на конденсаторе:

p = iu = - 0.5 I_mU_m sin( 2ωt )

Среднее значение мощности переменного тока на конденсаторе за период Т равно нулю.

Элементы цепи, для которых средняя мощность переменного тока равна нулю, обладают реактивным сопротивлением.

Реактивное сопротивление конденсатора называется – емкостным сопротивлением.

Емкостное сопротивление конденсатора по закону Ома равно отношению амплитуды к силе тока:

X_C = =

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте.

Это позволяет использовать конденсатор в качестве частотного фильтра.

Конденсатор оказывает значительное сопротивление току малой частоты.

Постоянный ток можно рассматривать, как предельный случай переменного при ω → 0. В этом случае x_C → ∞.

Для токов высокой частоты емкостное сопротивление мало.

На активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе.

На индуктивном сопротивлении фаза напряжения «опережает» ток на π/2

На емкостном сопротивлении фаза тока «опережает» напряжение на π/2