Математический маятник (уч.10кл. Стр.167-172)
Математический маятник.
Вынужденные и свободные колебания (см.выше уч.10кл.)
Свободные колебания пружинного маятника
График. Характер колебаний
Амплитуда. Формула
Период. Формула
Циклическая частота собственных гармонических колебаний пружинного маятника. Определение и формула
Полная механическая энергия свободных колебаний
Зависимость амплитуды от энергии
Тело небольших размеров, подвешенное на нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела, называется математическим маятником.
Математический маятник – это модель, реально таких маятников нет.
Вертикальное положением является положением равновесия, при котором сила тяжести уравновешивается силой упругости.
При малых отклонениях маятника от положения равновесия возникает равнодействующая сила, направленная к положению равновесия, и его колебания являются гармоническими.
Чтобы вывести эту формулу периода гармонических колебаний математического маятника, запишем второй закон Ньютона для маятника ΣFi = ma.
На маятник действуют сила тяжести и сила натяжения нити.
Их равнодействующая (см.рис.) равна: R = - mg
Следовательно, при малом угле отклонения (до 8о Rx ≈ R) по оси X:
max = mx’’ = - mg x’’ + x = 0
Корни дифференциального уравнения ????
УТОЧНИТЬ ВЫВОД ФОРМУЛЫ ПЕРИОДА КОЛЕБАНИЙ
Откуда: ω =
Период гармонических колебаний математического маятника при небольшом угле размаха (до 8о) равен:
T = = 2π
При гармонических колебаниях тела, подвешенного на пружине, сила упругости равна по закону Гука: F = -kx.
Пусть: x(t) = A sin(ωt)
По второму закону Ньютона: -kx = ma
Учитывая, что ускорение a = dx2/dt2 = x’’ (вторая производная координаты по времени)
ma = mx’’ = -kx -mω2Asin(ωt) = -kAsin(ωt)
ω = , T = = 2π
Период колебаний математического маятника (уч.10кл. Стр.167-172)
См. выше «Математический маятник»
Превращения энергии при гармонических колебаниях
ДОБАВИТЬ
См.выше «Гармонические колебания», «Свободные колебания», «Математический маятник», «Резонанс»
При отклонении математического маятника от положения равновесия его потенциальная энергия увеличивается (увеличивается расстояние до Земли).
При движении к положению равновесия скорость маятника возрастает, и увеличивается кинетическая энергия, за счет уменьшения запаса потенциальной.
В положении равновесия кинетическая энергия – максимальная, потенциальная – минимальна. В положении максимального отклонения – наоборот.
С пружинным – то же самое, но берется не потенциальная энергия в поле тяготения Земли, а потенциальная энергия пружины.
Свободные колебания всегда оказываются затухающими, т.е. с убывающей амплитудой, т.к. энергия тратится на взаимодействие с окружающими телами.
Потери энергии при этом равны работе внешних сил за это же время.
Амплитуда зависит от частоты изменения силы.
Максимальной амплитуды она достигает при частоте колебаний внешней силы, совпадающей с собственной частотой колебаний системы.
Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при описанных условиях называется резонансом.
Так как при резонансе внешняя сила совершает за период максимальную положительную работу, то условие резонанса можно определить как условие максимальной передачи энергии системе.