Дифракционная решетка

Дифракционная решетка представляет собой совокупность большого числа узких щелей шириной а, разделенных непрозрачными промежутками шириной b.

Величина d = a + b называется периодом(или постоянной) решетки.

Характерное значение d ≈0. 002 мм

Дифракционная решетка представляет собой прозрачную пластинку с нанесенной на ней системой параллельных непро­зрачных полос, расположенных на одинаковых рас­стояниях друг от друга. (несколько тысяч полос на мм)

Это расстояние ( d ) называют постоянной решётки.

Дифракционная решетка служит для разложения света в спектр и измерения длины волны.

Для наблюдения дифракции за решеткой помещают соби­рающую линзу, в фокальной плоскости которой располагают экран, на котором приведён вид в плоскости, проведённой поперёк щелям перпендикулярно к дифракционной решётке, а также показаны только лучи у краёв щелей.

В ре­зультате дифракции на каждой щели свет распро­страняется не только в первоначальном направлении, но и по всем другим направлениям.

Вследствие дифракции из щелей исходят све­товые волны во всех направлениях.

Выберем одно из них, составляющее угол α с направлением падающего света.

Этот угол называют углом ди­фракции.

Если за решет­кой поставить собирающую линзу, то на экране в фокальной плоскости все лучи будут собираться в одну полоску.

Свет, идущий из щелей дифракционной решётки под углом α, собирается линзой в точке Р (точнее в полосе, проходящей через эту точ­ку).

Параллельные лучи, идущие от краев соседних щелей, имеют разность хода:

 = d sin(α)

d — по­стоянная решетки — расстояние между соответ­ствующими краями соседних щелей, называемое пе­риодом решетки (d = a + b, где b – ширина щели, а – ширина непрозрачного участка),

α — угол отклонения световых лу­чей от перпендикуляра к плоскости решетки.

Прохождение света через линзу не вносит дополнительной разности хода.

Пусть на дифракционную решётку, перпендикулярно к ней, падает параллельный пучок монохроматического света (плоская монохроматиче­ская световая волна) длиной волны λ.

Каждая щель является источником вторичных волн.

Главные минимумы интенсивности оказываются такими же, как и для одной щели: те направления, по которым ни одна из щелей не посылает свет, не получат его и при нескольких щелях.

Найдем условия, при которых вторичные волны от различных щелей под углом α усиливают друг друга.

Расстояние между соответственными источниками А₁ и В₁ равно периоду решетки d, а разность хода между ними B₁C₁ = Δ = d sin(α)

Если на этом отрезке укладывается целое число длин волн, то волны от всех щелей, складываясь, будут усиливать друг друга.

При разности хода, равной целому числу длин волн mλ, наблюдается интерференционный мак­симум для данной длины волны. В точке Р волны усиливают друг друга.

Условие главных максимумов:

d sin(α_m) = m λ , где m = 0, ±1, ±2,...

Целое число m называют порядком главных максимумов.

Условие интерфе­ренционного максимума выполняется для каждой длины волны при своем значении дифракционного угла α.

Главные максимумы будут наблюдаться под углом :

Увеличение числа щелей приводит к увеличению яркости дифракционной картины.

Если число щелей N, а амплитуда напряженности электрического поля, излучаемого одной щелью E₀, то результирующая амплитуда E = NE₀.

Интенсивность света в максимуме пропорциональна квадрату амплитуды I ~ E².

Соответственно: I = N²I₀ , где I₀ – интенсивность света, излучаемого одной щелью

Интенсивность света в главном дифракционном максимуме пропорциональна квадрату полного числа щелей дифракционной решетки.

Побочные минимумы возникают в результате интерференции вторичных волн, распространяющихся от разных щелей.

В случае двух щелей результирующий минимум возникает при разности фаз колебаний:

φ = π = 2 π/2 (разность хода λ/2)

N щелей дают минимум интенсивности света при разности хода между ними:

_p = , где p = ±1, ±2,..., p ≠ kN, k = 1, 2, 3, ...

Выражая разность хода через период решетки, получаем условие побочного минимума, наблюдаемого под углом α_p:

d sin(α_p) = p , где p = ±1, ±2,..., p ≠ kN, k = 1, 2, 3, ...

Объеденим условия главных максимумов и побочных минимумов:

d sin(α) = 0, , 2, 3, ..., (N -1) , , λ, (N +1) , ..., 2λ,

Видно, что между двумя главными максимумами располагается (N -1) побочных минимумов, разделенных побочными максимумами. Интенсивность этих максимумов много меньше интенсивности главных максимумов.

Чем больше число щелей, тем больше побочных максимумов и минимумов между главными максимумами.

Увеличение числа щелей приводит к сужению главных и побочных максимумов.

Резкость главных максимумов тем больше, чем больше произведение Nd, т.е. чем больше полная ширина решетки.

С помощью дифракционной решетки с известным периодом можно производить измерения длины волны. Определение длины волны сводится к измерению угла α_m, соответствующего направлению на главный максимум интенсивности, согласно формуле d sin(α_m) = m λ

При освещении решетки немонохроматическим светом (например, солнечным), решетка разлагает свет в спектр.

Положение главных максимумов (см.формулу выше) зависит от длины волны. Чем больше λ, тем дальше от центра располагается соответствующий максимум (красный цвет – дальше, синий – ближе к центру):

sin(α_m) == , где m = 0, ±1, ±2,...,

Если на решётку падает белый свет, то для всех значений длин волн положение максимумов нулевого порядка (m = 0) совпадут; положение же максимумов более высоких порядков различны: чем больше , тем больше α при данном значении m.

Поэтому центральный максимум имеет вид уз­кой белой полосы, а главные максимумы других порядков представляют разноцветные полосы конечной ширины — дифракционный спектр.

Таким образом, дифракционная решётка разлагает сложный свет в спектр.

Угол дифракции имеет наибольшее значе­ние для красного света, так как длина волны красно­го света больше всех остальных в области видимого света.

Наименьшее значение угла дифракции для фиолетового света.

Разрешающая способность дифракционной решетки

При определенной близости длин волн λ₁ и λ₂ их главные максимумы накладываются друг на друга и различить их становится невозможно.

Разрешающая способность спектрального прибора характеризуется возможностью раздельного наблюдения двух спектральных линий, имеющих близкие длины волн λ₁ и λ₂.

Разрешающая способность дифракционной решетки:

A =

Можно показать, что:

A = = Nm .

N – число штрихов решетки

m- порядок наблюдаемого спектра

Высокую разрешающую способность имеют дифракционные решетки с большим числом штрихов N при наблюдениях спектров высокого порядка m > 1