Вопрос 57

Аналитическое выравнивание динамических рядов.

ОТВЕТ

Аналитическое выравнивание – описание основной тенденции количественной моделью. Это более эффективный метод выравнивания.

При аналитическом выравнивании фактические уровни ряда динамики заменяются уровнями, вычисленными по определенной функции времени: Y^*=f(t), где Y^* - выровненные уровни ряда (вычисленные по функции времени t). Данную функцию называют трендом.

Наиболее часто используемые виды функции в аналитическом выравнивании:

• линейная Y^*=a+b·t,

где a- уровень ряда за период времени t=0;

b- средний абсолютный прирост уровня ряда за единичный промежуток времени.

• показательная Y^*=a·b^t ,

где a- уровень ряда за период (в момент) времени t=0;

b- средний коэффициент роста за единичный промежуток времени.

• параболическая Y^*=a+b·t+с·t²,

где c- квадратический параметр, равный половине ускорения.

Выбор вида функции при аналитическом выравнивании.

Выбор вида функции (f) должен быть основан на содержательном анализе сущности развития данного явления. Можно опираться на результаты предыдущих исследований в данной области. На практике для этих целей прибегают к графическому изображению уровней динамического ряда (линейная диаграмма), а также к графическому изображению сглаженных уровней, в которых случайные волны и колебания в некоторой степени оказываются погашенными.

Используют также и специфический для временных данных подход - метод конечных разностей, который основан на свойствах различных кривых, применяемых при выравнивании (обязательным условием применения данного подхода является равенство интервалов между уровнями ряда).

Разностями первого порядка называются разности текущего и предыдущего уровней ряда динамики (цепной абсолютный прирост): ¹_i=Y_i-Y_i= Y^ц_i.

Разностями второго порядка называются разности между текущим и предыдущим значениями конечных разностей первого порядка: ²_i= ¹_i - ¹_i-1=Y_i-Y_i-1-(Y_i-1-Y_i-2)=Y_i-2Y_i-1+Y_i-2.

Разностями j-ого порядка называются разности между текущим и предыдущим значениями конечных разностей (j-1)–ого порядка: ^j_i= ^j-1_i - ^j-1_i-1.

Если разности первого порядка примерно приблизительно равны друг другу для всех i=1;(N-1), то общая тенденция выражается линейным уравнением Y^*=а+b·t.

Если разности второго порядка оказываются приблизительно равны между собой для всех i=1;N-2, то общая тенденция выражается параболой второго порядка: Y^*=a+b·t+c·t².

Если постоянны разности j–ого порядка, то для описания основной тенденции используют полином j–ого порядка: .

При выборе вида функции времени можно использовать и другие показатели. Например, если примерно постоянными оказываются темпы роста (коэффициенты роста), то для выравнивания применяется показательная функция: Y^*=a·b^t.

Расчет параметров уравнения тренда.

Расчет параметров при аналитическом выравнивании чаще всего производится с помощью метода наименьших квадратов (МНК). При этом поиск параметров для линейного уравнения тренда можно упростить, если отсчет времени производить так, чтобы сумма показателей времени изучаемого ряда динамики была равна нулю. То есть вводится новая условная переменная времени t^у_i, такая, что  t^у_i =0.

При нечетном числе уровней ряда динамики для получения  t^у_i=0 уровень, находящийся в середине ряда, принимается за условное начало отсчета времени (значению t^у_i, соответствующему данному уровню присваивается ноль). Значения переменной времени t^у_i, расположенные левее этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком минус (-1 –2 –3 ...), а, расположенные правее этого уровня – натуральными числами со знаком плюс (+1, +2, +3 ...). Например:

Ti	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995
tуi	-3	-2	-1	0	1	2	3
Yi	20	25	26	34	30	35	37

Если число уровней ряда четное, условные переменные времени левой половины ряда (до середины) нумеруются: –1, -3, -5..., а, правой половины: +1, +3, +5 и.т.д. При этом  t^у_i будет равна 0. Например:

T	1990	1991	1992	1993	1994	1995
tуi	-5	-3	-1	1	3	5
Y	25	26	34	30	35	37

Система нормальных уравнений (соответствующих МНК) преобразуется к виду:

Отсюда параметры уравнения рассчитываются по формулам:

.

! Данный подход можно использовать, если уровни ряда - равноотстоящие.