Вопрос 23

Теорема о разложении дисперсии при группировании.

ОТВЕТ

Пусть при группировке совокупности по некоторому признаку Х было образовано m однородных групп. Согласно правилу о разложении дисперсии общая дисперсия признака Х (по совокупности в целом) может быть разложена на две составные части: 1) межгрупповую и 2) остаточную (среднюю из внутригрупповых) дисперсии: ² _х=²+².

Общая дисперсия рассчитывается по формуле простой дисперсии и показывает величину вариации признака, обусловленную всеми факторами, влияющими на данный признак.

Межгрупповая дисперсия характеризует ту часть общей вариации признака, которая обусловлена делением совокупности на группы. То есть она характеризует вариацию признака, обусловленную факторами, с которыми связано деление совокупности на группы. Поэтому ее еще называют факторной дисперсией. Межгрупповая дисперсия равна среднему взвешенному квадрату отклонений групповых (частных) средних от общей средней :

,

Где Nj- численность единиц в j-ой группе.

Средняя из внутригрупповых дисперсий (или остаточная)- ² характеризует остаточную вариацию, несвязанную с группированием. То есть, она характеризует вариацию признака, обусловленную прочими факторами, не связанными с делением совокупности на группы. Вычисляется она как средняя взвешенная из внутригрупповых дисперсий.

, j=1;m

_j² - дисперсия признака внутри j–ой группы.

Очевидно, что чем больше межгрупповая дисперсия ², тем лучше проведена группировка (выделенные при группировки группы сильнее различаются между собой). Поэтому межгрупповая дисперсия является критерием группирования для группировок с одинаковым числом групп. Лучшей будет та группировка, у которой величина ² больше.

Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно всегда по двум известным дисперсиям отыскать третью – неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.

Вопрос 24 Показатели формы распределения. Ответ

К показателям формы распределения относят:

1) Показатель симметричности распределения – коэффициент асимметрии.

Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Для симметричных одновершинных распределений средняя арифметическая, мода и медиана равны между собой. Положительная величина показателя асимметрии указывает на наличие правосторонней асимметрии, отрицательная – на наличие левосторонней асимметрии.

As<0 As>0

а) б)

Рис.4. Виды асимметрии: а) левосторонняя; б) правосторонняя

Существуют различные способы расчета коэффициента асимметрии:

1) As=(Хср-Мо)/.

Величина As может изменяться от –1 до +1 (для одновершинных распределений). Чем ближе по модулю As к 1, тем асимметрия существеннее.

2) Наиболее точным и распространенным является показатель, основанный на определении центрального момента третьего порядка (в симметричном распределении его величина равна нулю):

.

Для оценки существенности такого коэффициента асимметрии вычисляется показатель средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии: . Отношение As/_As, дающее значение большее 3, свидетельствует о существенном характере асимметрии.

2) Показатель островершинности распределения– Эксцесс.

Эксцесс (Ex) представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения. Он рассчитывается для симметричных распределений. Наиболее точным является показатель, использующий центральный момент четвертого порядка (М4):

.

(для нормального распределения отношение М4/⁴=3, следовательно эксцесс равен нулю). Наличие положительного эксцесса означает, что распределение более островершинное чем нормальное; отрицательное значение эксцесса означает более плосковершинный характер распределения, чем у нормального.

Ex>0

Ex=0

Ex<0

Рис. 5. Эксцесс распределения.