Вопрос 19

Виды степенных средних. Понятие ведущего показателя. Веса усреднения.

ОТВЕТ

Степенные средние делятся на простые и взвешенные.

Общая формула простой степенной средней записывается следующим образом: , где k-показатель степени, определяющий вид степенной средней.

В случае простой средней все значения усредняемого признака Х имеют одинаковую важность (вес). Если же значения Х имеют неодинаковую важность (вес) при усреднении, то используется формула взвешенной степенной средней. В общем виде взвешенная степенная средняя имеет вид:

, где f_i-вес усреднения.

С изменением показателя степени k формула степенной средней меняется, и в каждом отдельном случае приходим к определенному виду средней.

Запишем формулы различных видов степенных средних, придавая k значения: -1, 0,1,2.

Виды степенных средних

k	Название средней	Формула расчета средней		Область применения
		Простая	Взвешенная
-1	Гармоническая			Усреднение относительных величин (за исключением относительных показателей динамики)
0	Геометрическая			Усреднение относительных показателей динамики, а также для определения равноудаленной величины от максимального и минимального значений признака
1	Арифметическая			Усреднение абсолютных, относительных величин (за исключением относительных показателей динамики)
2	Квадратическая			например, для вычисления средней величины стороны n квадратных участков, средних диаметров n труб, стволов и т.п.

Известно, что степенные средние разных видов, исчисленные по одной и той же совокупности, имеют различные количественные значения. Чем больше показатель степени k, тем больше величина соответствующей степенной средней (данное утверждение справедливо для совокупности с положительными значениями признака Х):

Хгарм <Хгеом<Харифм<Хкв

Это свойство степенных средних называется свойством мажорантности средних.

Понятие ведущего показателя

Категорию средней величины можно раскрыть через понятие ведущего показателя. Ведущий показатель - это существенная характеристика совокупности как целого, определяемая всеми единицами этой совокупности и определенным образом связанная со всеми индивидуальными значениями признака: W = f(X₁, X₂, ..., X_N), где X_i - индивидуальные значения признака в совокупности. В большинстве случаев ведущий показатель имеет реальный экономический смысл.

Основное свойство ведущего показателя следующее: он должен сохранять свое значение при замене индивидуальных значений признака их средней величиной. Если в формуле ведущего показателя все величины X₁, X₂, ..., X_N заменить их средней величиной , то значение ведущего показателя должно остаться прежним, т.е.:

f(X₁, X₂, ..., X_N ) = f( , ,... , ).

Вид степенной средней	Ведущий показатель
	W=X1+X2+...+XN
	W=X1·f1+X2·f2+...
	W=X12+X22+...+XN2
	W=X12·f1+X22·f2+...

Применение конкретной формы средней величины зависит от вида усредняемого признака Х (абсолютная, средняя или относительная величина) и от того, в каком виде представлены исходные данные.

Веса усреднения.

Название «вес» выражает тот факт, что разные значения признака имеют неодинаковую «важность» при расчете средней величины. Величина средней взвешенной зависит уже не только от величины индивидуальных значений признака (как в простой средней), но и от соотношения весов. Например, чем больше веса у малых значений вариантов, тем величина средней меньше. Поэтому важное значение имеет обоснование и выбор веса.

Весом может быть: 1) частота повторения индивидуальных значений признака (N_j);

2) частость: q_j=N_j/N_j (q_j=1). Тогда формула средней арифметической взвешенной имеет вид: =X_j·q_j;

3) объемный показатель, логически связанный с усредняемым признаком (Х). Величина произведения данного показателя на Х, или частного от деления этого показателя на Х или величина, полученная при возведении Х в степень, равную данному показателю, должна иметь смысл, т.е. должна быть некоторым показателем;

4) доля объемного показателя в его суммарном объеме по совокупности в целом.