Вопрос 29

Ошибки репрезентативности. Средние и предельные ошибки выборки.

ОТВЕТ

Выборочные (статистические) оценки отличаются от генеральных параметров за счет ошибки наблюдения (регистрации) и ошибки репрезентативности (выборки):

^*=^г+ошибка регистрации+ошибка репрезентативности.

Будем считать, что ошибка регистрации равна нулю.

Репрезентативность (представительство) выборки означает, что структура выборки должна быть близка к структуре генеральной совокупности, т.е. выборка должна состоять из тех же типов и в той же пропорции, что и генеральная совокупность. Если структура выборки не соответствует структуре генеральной совокупности, то при оценке характеристик (параметров) будут допущены ошибки репрезентативности.

Ошибки репрезентативности делятся на:

• систематические – отклонения от схемы (способа отбора);

• случайные (ошибки выборки) - это отклонения, возникающие из-за недостаточно равномерного представления в выборочной совокупности различных категорий единиц генеральной совокупности, в силу чего распределение отобранной совокупности единиц не вполне точно воспроизводит распределение единиц генеральной совокупности. Величина случайной ошибки репрезентативности равна: =^*-^г и может быть оценена с помощью соответствующих математических методов.

Различают среднюю и предельную ошибки выборки.

Средняя ошибка выборки () вычисляется как средняя из возможных ошибок _j, j –номер выборки j=1;m. Она обычно рассчитывается по формуле средней квадратической: .

В каждой конкретной выборке фактическая ошибка выборки может быть меньше средней ошибки, равна ей или больше ее. Причем каждое из этих расхождений имеет различную вероятность.

Предельная ошибка выборки () – это максимально возможная при данной вероятности ошибка выборки (рис.8).



0 _j  _i 

Рис.8. Предельная ошибка выборки ().

То есть мы с заданной вероятностью гарантируем, что ошибка нашей (j-ой) выборки не превысит предельную ошибку . Заданная вероятность называется доверительной вероятностью - .

Предельная ошибка равна: =t·, где t- коэффициент доверия, значение которого определяется доверительной вероятностью .

Величина случайной ошибки репрезентативности (ошибки выборки) зависит от:

1. способа формирования выборочной совокупности;

2. объема выборки (чем больше объем выборки, тем меньше ошибка);

3. степени колеблемости изучаемого признака в генеральной совокупности (чем больше колеблемость (вариация) признака, тем ошибка больше).

Вопрос 30

Закон больших чисел – методологическая основа выборочного метода.

ОТВЕТ

Теоретической основой выборочного метода служит закон больших чисел, суть которого состоит в следующем: с увеличением объема выборки вероятность появления больших ошибок и пределы максимально возможной ошибки уменьшаются (чем больше обследуется единиц, тем меньше будет величина расхождений выборочных и генеральных характеристик).

Математически данный закон записывается через неравенство П.Л.Чебышева: при n, где -выборочная средняя; - сколь угодно малая величина. Следует отметить, что данное неравенство справедливо для генеральной совокупности с ограниченной дисперсией.

Неравенство Чебышева доказывает принципиальную возможность определения генеральной средней по данным простой случайной выборки. Однако, оно не позволяет указать вероятность появления ошибок определенной величины. Это позволяет сделать центральная предельная теорема А.М.Ляпунова (доказанная в 1901 г.), которая гласит:

при достаточно большом числе независимых наблюдений вероятность того, что расхождение между выборочной и генеральной средней не превзойдет по модулю некоторую величину – t·, равна интегралу Лапласа: , где Ф(t)= - интеграл Лапласа.

Данное утверждение справедливо для генеральной совокупности с конечной средней и ограниченной дисперсией.

t	1	2
Ф(t)	0,683	0,954

Из этой теоремы следует важный вывод: при достаточно большом числе независимых наблюдений (объеме выборки) распределение отклонений выборочных средних от генеральной средней, а, следовательно, и самих выборочных средних приближенно нормально. Данное утверждение справедливо и для других видов статистических оценок. То есть можно утверждать, что для выборок большого объема статистические оценки распределены по нормальному закону.