Вопрос 28

Понятие статистической оценки. Свойства сатистических оценок: состоятельность, несмещенность, эффективность.

ОТВЕТ

Статистической оценкой (^*) характеристики (параметра) генеральной совокупности называют приближенное значение искомой характеристики (параметра), полученное по некоторой функции от наблюдаемых в выборке значений признака Х, т.е.: ^*=f(X₁, X₂,..., X_n), где n – объем выборки; (X₁, X₂,..., X_n) – рассматриваются как независимые случайные величины. Функцию f называют способом оценивания.

Примером оценки генеральной средней является выборочная средняя, генеральной дисперсии - выборочная дисперсия. Однако совсем не обязательно в качестве статистической оценки характеристики (параметра) генеральной совокупности использовать выборочный статистический показатель. Возможны и другие способы оценивания.

От выборки к выборке статистическая оценка (даже при одном и том же способе оценивания) меняется (^*₁, ^*₂,…, ^*_m) (рис.7). Получаемая оценка (^*_j) представляет частный случай случайной переменной, т.к. сочетание значений признака Х в выборке случайно, а, следовательно, случайным будет и значение функции от них.

Таким образом, значение статистической оценки зависит от:

1. вида характеристики (параметра) генеральной совокупности;

2. способа оценивания;

3. конкретной выборки (т.е. сочетания значения признака Х).

Г .С. (N),^г

В .С.

1(n₁) 2 (n₂) ..... m (n_m)

f1: ^*1₁ ^*1₂ ^*1_m

f2: ^*2₁ ^*2₂ ^*2_m

где n_j – объем j-ой выборки;

^*i_j- оценка ^г, полученная по данным j–ой выборки при i–ом способе оценивания;

m- число выборок;

f1, f2 – соответственно 1-ый и 2-ой способы оценивания ^г.

Рис.7. Оценивание генеральной характеристики по данным выборки.

Для одного и того же параметра генеральной совокупности может быть предложено несколько способов оценивания. Таким образом, возникает проблема выбора лучшего способа оценивания. Критерием выбора является требование состоятельности, несмещенности и эффективности оценки, получаемой при данном способе оценивания.

Способ оценивания дает состоятельные оценки, если при бесконечно большом объеме выборки значение статистической оценки стремится к искомому значению параметра генеральной совокупности.

Способ оценивания дает несмещенные оценки, если математическое ожидание оценки при данном способе оценивания тождественно искомому параметру генеральной совокупности (при любом объеме выборки), т.е. Е(^*)=^г. Если математическое ожидание оценки не равняется характеристике генеральной совокупности, то оценка называется смещенной. И разность (Е(^*)-^г) называется смещением.

Было бы ошибочным считать, что несмещенная оценка всегда дает хорошее приближение оцениваемого параметра. Действительно, возможные значения получаемой оценки могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, т.е. дисперсия оценки может быть значительной. Поэтому еще одним важным требованием, предъявляемым к способам оценивания, является эффективность оценок. Оценка, полученная при данном способе оценивания, называется эффективной, если ее дисперсия минимальна (при заданном объеме выборки n).