- •Конспект лекцій
- •Вінниця - 2010 вступ
- •1. Логістика в ринковій економіці
- •1.1. Еволюція концепції логістики
- •1.2. Логістика як науковий напрямок
- •1.3. Розвиток логістики
- •Класифікація форм логістичних утворень
- •2.1. Поняття терміна «логістика»
- •2.2. Види логістики
- •3. Характеристика основних елементів логістики
- •3.1. Цілі логістики
- •3.2. Задачі логістики
- •3.3. Вимоги і функції логістичного управління
- •3.4. Основні підходи і методи, що застосовуються в логістиці
- •4. Технологічні процеси та управління матеріальними потоками
- •4.1. Матеріальний потік і його характеристики
- •4.2. Інформаційні потоки в логістиці
- •4.3. Логістичні операції і інші поняття в логістиці
- •5. Фпктори Формування логістичних систем
- •5.1. Сутність логістичних систем
- •5.2. Типи і види логістичних систем
- •5.3. Розробка логістичних систем
- •5.4. Логістичні ланцюга і логістичні ланки
- •6. Види логістики
- •6.1. Заготівельна логістика
- •6.2. Розподільча логістика
- •6.3. Внутрішньовиробнича логістика
- •6.4. Логістика посередництва
- •6.5. Логістика складування
- •7. Управління иатеріальними потоками в логістичних системах
- •1. Математичні методи побудови макрологістичних моделей
- •1.1. Загальні відомості про потокові моделі
- •1.1.1. Задачі, які розв’язуються методами теорії потоків
- •1.1.2. Основні поняття та означення теорії потоків
- •1.1.3. Теорема про максимальний потік (теорема Форда-Фалкерсона)
- •Стверджується, що кінцева вершина
- •1.1.4. Задачі теорії потоків і лінійного програмування
- •Причому змінні мають довільні знаки, а змінні
- •1.2. Основні алгоритми теорії потоків
- •1.2.1. Алгоритми визначення максимального потоку
- •1.2.2. Угорський алгоритм
- •2. Математичні моделі оптимізації пропускних спроможностей і потоків на мережах
- •2.1. Загальні положення
- •2.2. Задача вибору пропускних спроможностей
- •2.3. Зворотня задача вибору пропускних спроможностей
- •2.4. Задача розподілу потоків
- •Додаток 2
- •Розв’язком задачі пошуку екстремуму (д. 1) буде розв’язок системи
- •8.Прикладні задачі галузевої логістики
- •1. Керування виробничими і торгівельними запасами
- •1.1. Модель економічного розміру партії поставки
- •1.2. Знаходження оптимального розміру партії поставки з урахуванням можливого дефіциту запасів
- •1.3. Випадковий попит. Збитки із-за надлишку або нестачі запасів
- •1.4. Визначення груп запасів по методу авс і xyz
- •Ідентифікація об'єктів керування, що аналізуються методом авс
- •Оцінка об'єктів керування по виділеній класифікаційній ознаці
- •Визначення коефіцієнтів варіації
- •Побудови кривої xyz Поділ сукупності об'єктів керування
- •2. Практичні задачі логістики складування
- •2.1. Управління матеріальними потоками на основі поопераційного обліку логістичних витрат
- •Зона зберігання – головне приміщення складу з єдиною матеріальною відповідальністю
- •Ділянка приймання
- •2.2. Визначення розмірів технологічних зон складу
- •3. Площі ділянок приймання і комплектування (Sпр і Sком)
- •4. Площа робочих місць (Sрм )
- •5. Площа приймальної експедиції (Sпе)
- •6. Площа відправної експедиції (Sев)
- •2.3. Розрахунок точки беззбитковості діяльності складу
- •2.4. Ухвалення рішення про користування послугами найманого складу
- •2.5. Визначення місця розташування розподільчого складу на території, що обслуговується
1.1.4. Задачі теорії потоків і лінійного програмування
Для подальшого нам знадобляться знання про властивості прямої і двоїстої задачі лінійного програмування. Сформулюємо ці властивості в іншій формі, ніж вони звичайно розглядаються в дослідженні операцій [4, 5]. Наведемо ці властивості без доведення. Пряма задача формулюється таким чином. Потрібно визначити значення змінних , які задовольняють співвідношенням
(1.24)
і падають максимуму лінійній формі
(1.25)
Для подальшого важливо, що величина мають любі знаки, а величини (ці змінні відповідають нерівностям двоїстої задачі).
Цій прямій задачі ставиться у відповідність двоїста задача. При цьому кожному з обмежень (1.24) ставляться у відповідність двоїсті змінні і ; для цих змінних складаються обмеження з рівностей і нерівностей
(1.26)
Причому змінні мають довільні знаки, а змінні
П
(1.27)
Коефіцієнти в лівій частині (1.26) отримуються транспонуванням матриці системи (1.24).
Вектор який задовольняє обмеженням основної задачі називається допустимим вектором, а основна задача - допустимою задачею. Допустимий вектор, який максимізує (1.25) називається оптимальним вектором, а задача - оптимальної. Така ж термінологія застосовується для двоїстої задачі.
Для кожної з цих задач можливі три випадки:
- є оптимальні вектори (а отже і допустимі);
- є допустимі вектори, але немає оптимальних;
- немає допустимих векторів.
О
(1.28)
Припустимо, що основна, а отже і двоїста задача має допустимі вектори.
П
(1.29)
Нехай w і допустимі вектори, тоді
(1.30)
Т
(1.31)
(2.31)
а для невід'ємних змінних справедливими є нерівності
(1.32)
Якщо якась j-та нерівність двоїстої задачі не обертається в точну рівність (є суворою нерівністю), тобто
то рівність в формулі (1.30) для допустимих рівнянь можлива тільки при умові, що відповідна j-та змінна основної задачі обертається в нуль, тобто .
Ця вимога є необхідною і достатньою. Умовно це можна представити таким чином:
(1.33)
Це положення називають другою теоремою двоїстості [4, 5, 29] і формулюють таким чином. Для того, щоб допустимі розв'язки W і пари двоїстих задач обертали в рівність співвідношення (1.30) тобто були оптимальними, необхідно і достатньо виконання наступної умови: якщо якась з нерівностей системи обмежень однієї задачі не обернулась в точку рівність то відповідна змінна іншої задачі повинна дорівнювати нулю. Аналогічним чином
(1.34)
тому що для тих змінних , які мають любий знак, справедливими є рівності
(1.35)
Якщо для деякого і в (1.35) виконується знак рівності, то необхідно і достатньо, щоб
Це положення умовно можна позначити таким чином:
(1.36)
Доведено наступні: для того, щоб допустимі розв'язки W і пари задач обертали (1.34) в рівність (були оптимальними) необхідно і достатньо виконання наступної умови: якщо якась із змінних однієї з двоїстих задач суворо позитивна, то відповідне обмеження іншої (основної) задачі повинно обертатися в рівність. Із порівняння (1.30) і (1.34) виходить, що
(1.37)
Рівність в (1.37) можлива тоді і тільки тоді, коли виконуються умови (1.33) і (1.36).
Теорему про максимальний потік можна отримати з теореми двоїстості Теорема двоїстості, теорема про максимальний потік і теорема про мінімальне в теорії ігор – це різні формування одного і того ж положення. Розглянемо рівняння, які визначають максимальний потік, і складемо для них двоїсту задачу:
(1.38)
(1.39)
.
Неважко переконатися в тому, що матриця коефіцієнтів лівої частини співпадає з матрицею інциденцій.
Співставимо з равенствами (1.38) величини (всього їх N+2, де N – число внутрішніх вершин мережі), а нерівностям (1.39) – величини Нагадаємо, що
Тоді у відповідності з формальними правилами побудови двоїстої задачі отримаємо:
При цих обмеженнях потрібно знайти мінімум лінійної форми
(1.43)
Пояснимо це на прикладі
Приклад 3. неважко переконатися, що для мережі, яка зображена на рис. 5, матриця інциденцій має вигляд:
(1.44)
-
(х0, x)
(х0, y)
(х, y)
(y, x)
(х, z)
(y, z)
х0
1
1
0
0
0
0
х
-1
0
1
-1
1
0
у
0
-1
-1
1
0
1
z
0
0
0
0
-1
-1
Р
Рис. 5. Пояснення до прикладу 3.
Тоді матриця коефіцієнтів перепишеться в вигляді
|
(х0, x1) |
(х0, y) |
(х, y) |
(y, x) |
(х, z) |
(y, z) |
φ |
х0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
х |
-1 |
0 |
1 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
у |
0 |
-1 |
-1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
z |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
-1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
В останню матрицю добавлено шість рядків, які відповідають нести рівнянням – обмеженням на пропускну спроможність. Випишемо кілька рівнянь, які відповідають рівнянням (1.45) в розвернутому вигляді.
Для х = х0 друга сума в (1.38) не дає ні одного члена;
Для х ≠ х0, z друга сума дає два члени. Тоді (1.38) буде мати вигляд:
Якщо транспортувати матрицю (1.45) і врахувати, що відповідає першому рівнянню в (1.46), а – останньому, то отримаємо рівняння (1.40).
Одиниця в правій частині (1.40) стоїть тому, що відповідний коефіцієнт лінійної форми дорівнює одиниці.
Можна показати, що якщо – мінімальний розріз, який відділяє х0 від z, то оптимальний розв’язок двоїстої задачі дається формулами
(1.47)
(1.48)
Цікаво відмітити, що розв’язки (1.47) і (1.48) дають: розв’язок двоїстої задачі – мінімальний розріз,
розв’язок прямої задачі – максимальний потік.