Тема 14. Введение в динамику системы материальных точек

Совокупность множества материальных частиц образуют систему материальных точек. Если система материальных частиц такова, что движение каждой ее точки зависит от положения остальных точек, то она называется механической системой материальных точек.

Условия, ограничивающие свободу движения точек системы, называют связями (гибкие, идеально гладкие, шарнирные).

Все силы, действующие на систему несвободных точек, можно разделить на активные (вызывающие движение системы) и пассивные (реакции связей). Кроме того, силы делятся на внешние и внутренние.

Внешними называют силы, действующие на движущуюся механическую систему извне и ей не принадлежащие ( ).

Внутренними силами называют силы взаимодействия между отдельными точками системы ( ). Внутренние силы обладают следующими свойствами:

1 . Геометрическая сумма всех внутренних сил системы равняется нулю ∑ = 0. Действительно, на основании третьего закона динамики любые две точки системы (рис. 3.1.95) действуют друг на друга с равными по модулю и противоположно направленными силами и , сумма которых равна нулю.

2. Сумма моментов всех внутренних сил системы относительно любого цента или оси равняется нулю:

∑ или ∑ .

Внутренние силы не уравновешиваются, так как они приложены к различным точкам системы и могут вызывать перемещения этих точек относительно друг друга. Уравновешенными внутренние силы будут тогда, когда рассматриваемая система представляет собой абсолютно твердое тело.

Масса системы. Центр масс. Движение системы, кроме действующих сил, зависит также от ее суммарной массы и распределения масс. Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему: М = ∑m_к.

Центром масс системы называется геометрическая точка С, радиус-вектор которой находится по формуле

. (3.1.117)

В проекциях на декартовы оси координат это равенство запишется в следующем виде:

, , . (3.1.118)

Понятие «центр масс» является очень важным. При исследовании движения системы очень часто невозможно определить движение каждой из точек системы. Поэтому о движении системы судят по движению ее центра масс.

М оменты инерции. Положение центра масс характеризует распределение масс системы не полностью. Поэтому в механике вводится еще одна характеристика распределения масс – момент инерции. Моментом инерции тела (системы) относительно плоскости, оси или полюса называют скалярную физическую величину, равную сумме произведений массы каждой точки на квадрат расстояния этой точки до плоскости, оси или полюса соответственно (рис. 3.1.96).

J_хоу = ∑m_k ; J_хоz = ∑m_k ; J_yoz = ∑m_{k ,}

J_ox =∑m_k( ); J_oy =∑m_k( ); J_oz =∑m_k( ) (3.1.119)

J_o =∑m_k( ).

Радиусом инерции тела относительно некоторой оси (Оz) называют расстояние ρ от оси до точки, в которой необходимо сосредоточить массу М = m_k всего тела, чтобы момент инерции этой точки относительно этой оси равнялся моменту инерции тела: J_z = M ρ².

Единицей измерения момента инерции в системе СИ является 1 кгм².

Т еорема о моментах инерции твердого тела относительно параллельных осей. Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси равен моменту инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через его центр масс, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями (рис. 3.1.97).

Возьмем начало координат О в центе тяжести С тела, тогда х_с = 0, y_с = 0, z_с = 0, z₁ || z .

Требуется доказать: J_z1 = J_zc + Md², где d – расстояние между осями; М – масса тела.

Известно что,

J_zc =∑m_k( ), J_z1=∑m_k( ).

По формуле преобразования координат при параллельном переносе осей имеем

x_1k = x_k, y_1k = y_k – d, z_1k = z_k,

J_z1=∑m_k[ + (y_k – d)²] =∑m_k[ – 2y_kd + d²] =

=∑m_k( ) + ∑m_kd² – 2d ∑m_ky_k = J_zc+ Md²,

так как

∑m_ky_k = My_c, а y_c = 0,

то

∑m_ky_k = 0,

следовательно,

J_z1 = J_zc + Md². (3.1.120)

Отсюда следует, что из всех моментов инерции относительно различных осей данного направления наименьшее значение имеет момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс системы.

Определение моментов инерции. Рассмотрим некоторые примеры определения моментов инерции однородных твердых тел.

1 . Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его конец А (рис. 3.1.98). Обозначим: l – длина стержня АВ, γ = M/l – линейная плотность стержня, т.е. масса, приходящаяся на единицу длины, М = γ l – масса всего стержня. Разобьем стержень на бесконечно малые отрезки. Расстояние такого отрезка от оси z – x_k, его масса m_k = γ·dx_k. По определению:

J_z = = γ x²dx = ,

но γl = M, тогда

. (3.1.121)

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс, вычислим по теореме Гюйгенса:

J_z = J_zc + Md²,

отсюда

J_zc = J_z – Md², где d = l/2,

тогда

J_zc =

или

J_zc = . (3.1.122)

2 . Момент инерции материальной окружности (тонкого однородного проволочного кольца) радиусом R и массой М относительно его центра О (рис. 3.1.99). Разобьем окружность на бесконечно малые элементы – дуги, массу элемента обозначим m, расстояния их от центра одинаковы и равны R. Поэтому

J₀ = ∑m_kR² = R²∑m_k = MR², J₀ = MR². (3.1.123)

Такой же результат получится и для тонкой цилиндрической оболочки массой М и радиусом R относительно ее оси.

3 . Момент инерции круглой однородной пластины радиусом R и массой М относительно оси, проходящей через ее центр О. Находим разбиением данного круга на элементарные плоские кольца (рис. 3.1.100). Радиус такого кольца обозначим через r, массу – m, бесконечно малую ширину через dr, толщину – h и плотность – . Тогда

Δm_k = γ2πrhdr, J₀ = ∑m_k ,

так как масса круга М = γπhR², то

J₀ = . (3.1.124)

J₀ = J_x + J_y, но для круга J_x = J_y, следовательно,

J_x = J_y = . (3.1.125)

4 . Момент инерции цилиндра относительно его оси (рис. 3.1.101). Разбиваем цилиндр массой М и радиусом R на бесконечно тонкие круглые пластинки.

J_{c тон.пл.} = ,

где m – масса круглой пластинки;

J_z = ;

J_z = . (3.1.126)

Дифференциальные уравнения движения механической системы. Пусть дана механическая система n материальных точек. Рассмотрим М_k точку этой системы. Для нее: m_k – масса точки; – ускорение; – равнодействующая всех внешних сил, приложенных к этой точке (как активных, так и реакций связей); – равнодействующая всех внутренних сил, приложенных к точке.

Тогда на основании второго закона динамики дифференциальное уравнение движения этой точки запишется

,(k = 1, 2, ... n). (3.1.127)

Аналогичный результат получим для любой точки, всего система имеет n таких уравнений.

Спроецируем векторное равенство (1.128) на оси декартовых координат:

, , , (k = 1, 2, ... n). (3.1.128)

Трудности решения системы дифференциальных уравнений очень велики даже для одной материальной точки. Основная роль уравнений (3.1.127) состоит в том, что или они сами, или следствия из них являются исходными для получения соответствующих общих теорем.