Контрольные вопросы

1. Приведите примеры событий: достоверных, невозможных, несовместных, противоположных, случайных, равновозможных.

2. Что означает, что ускорение свободного падения на Земле равно 9,8? Это действительно так?

3. Из 10 цифр выбирают 2. Чему равна вероятность, что обе четные? Обе нечетные? Одна четная, а одна нечетная?

4. Какое распределение считается нормальным? Почему оно считается одним из основных в статистике?

5. Для любой случайной величины можно построить функцию распределения или нет?

6. Что характеризуют мода, ассиметрия и эксцесс распределения?

7. Является ли распределение исходов бросков двух игральных костей нормальным? Совпадают ли математическое и экспериментальное распределения для этой игры?

8. Близко ли полученное Вами распределение к нормальному? Выполняется ли правило 3 сигма? Если - да, то почему? Если нет - то по какой причине? И какие из всего этого следуют выводы о том, как вы получили исследуемый набор данных?

Лабораторная работа 2-2

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕРМОЭЛЕКТРОНОВ

ПО СКОРОСТЯМ

Цель работы

Изучить распределение Максвелла по скоростям для электронов и убедиться в его применимости для описания термоэлектронной эмиссии.

Задача работы

Измерить зависимость анодного тока от величины задерживающего напряжения между сеткой и катодом в вакуумном диоде. Установить вид функции распределения по скоростям термоэлектронов, покидающих катод. Сравнить полученную зависимость с функцией распределения Максвелла по скоростям для классического идеального газа. Понять, почему можно пользоваться такой аналогией для обобщенных электронов в металле. Определить температуру электронного газа и наиболее вероятную скорость движения электронов.

Свободные электроны в металлах

Высокая проводимость металлов объясняется существованием «свободных» электронов. Процесс их испарения с поверхности металла при высокой его температуре называется термоэлектронной эмиссией.

Электроны, покидающие поверхность металла при термоэлектронной эмиссии, можно рассмотреть как газ, частицы которого совершают беспорядочное тепловое движение и условие: E_кин>>E_пот выполняется с хорошей точностью. Скорости теплового движения частиц газа могут принимать любые значения от нуля до сколь угодно больших. Силы взаимодействия становятся заметными только при прямых столкновениях. Но при этом время столкновения много меньше времени – свободного движения частиц между двумя столкновениями: . Все соударения упругие, при столкновениях частицы обмениваются скоростями, импульсами и энергией.

Благодаря полной хаотичности движений частиц, случайный характер столкновений и возможных изменений их скоростей, распределение частиц такого газа по скоростям оказывается нормальным (все вышеперечисленные условия выполняются с хорошей точностью при температурах 1000-2000К, характерных для настоящей работы). На "нормальность" распределения в этом случае не влияют даже присутствие внешнего электромагнитного поля. Это распределение в случае классического идеального газа^b носит название распределения Максвелла по компонентам проекций скорости молекул :

(1)

здесь Т – абсолютная температура, N – число молекул; m – масса одной частицы газа; k=1,38·10 Дж/К – постоянная Больцмана.

Если перейти в (1) к модулю скорости , то функция будет иметь вид:

(2)

Она называется плотностью распределения Максвелла по модулю скорости молекул газа в сферической системе координат. Интеграл имеет смысл вероятности обнаружения частицы, движущейся со скоростью, лежащей в интервале от v₁ до v₂.

Рис.1. График функции распределения Максвелла

Отношение в (2) определяет долю молекул в объеме, имеющих заданную скорость . Поскольку в газе нет неподвижных частиц и частиц, движущихся с бесконечно большими скоростями, обращается в нуль при и .

Как видно из формы графика, наибольшая доля всех частиц движется со скоростями, близкими к – наивероятнейшей скорости. Продифференцировав по скорости и приравняв полученную производную нулю, получим выражение для :

(3)

Это значение отличается от среднего значения скорости частиц газа, которое вычисляется как:

(4)

От выражения (2) можно перейти к распределению по кинетической энергии^c :

(5)

Ввиду принципиальной важности распределения Максвелла для статистической физики, оно было неоднократно подвергнуто тщательной экспериментальной проверке. До сих пор его ничто не смогло опровергнуть [1]. Более подробно о свойствах распределения смотрите Приложение 6.