Ошибки величин являющихся функциями нескольких измеряемых величин

В ряде случаев пользуются понятием максимальной, или предельной, ошибки при вычислении погрешности функции нескольких аргументов. При этом подсчитывается та максимальная ошибка в измерении искомой величины N (x, у, z), которая может возникнуть, если все ошибки в определении величин х, у и z изменяют значение N в одну и ту же сторону. Поясним это на нескольких примерах.

1. Абсолютная и относительная максимальная ошибка величины, являющейся суммой (или разностью) двух измеряемых величин: N=A±В. Пусть абсолютная ошибка измерения величины А равна ∆А, а абсолютная ошибка измерения величины В есть ∆В. Тогда, очевидно

N±∆N = (А±∆А)±(В±∆В).

Ошибки ∆А и ∆В могут быть любого знака, но мы рассмотрим наиболее невыгодный случай, когда ошибка измерения наибольшая. При измерении суммы двух величин, А и В, ошибка будет наибольшей, если ошибки измерения величин А и В одного знака, при измерении разности величин А и В, если их ошибки разного знака. В обоих случаях, следовательно, максимальная абсолютная ошибка ∆N измерений величины N будет равна сумме абсолютных ошибок измерений величин А и В:

± ∆N = ± (∆А + ∆В). (2)

Относительные ошибки измерений будут выражаться следующими формулами.

для суммы , (3)

для разности (4)

Таким образом (как отмечалось выше), если мы измеряем какую-либо величину, равную разности двух величин, то относительная ошибка измерения тем больше, чем ближе значения измеряемых величин.

2. Абсолютная и относительная максимальная ошибки произведения (или частного) двух величин: N=АВ (или N = А/В). Если A измерено с ошибкой ±∆А, а В — с ошибкой ±∆B, то, очевидно,

N±∆N = (А±∆А) (В ± ∆В) = АВ ±А∆В ± B∆A±∆А∆В.

Величиной ∆А∆В, как и раньше можно пренебречь, так как ∆А и ∆B малы по сравнению с величинами A и В, поэтому

∆N =A∆B + B∆A. (5)

Мы опять рассматриваем наиболее невыгодный случай, когда обе ошибки имеют одинаковый знак. Таким образом, абсолютная максимальная ошибка произведения равна сумме произведений абсолютной ошибки первого множителя на второй множитель и ошибки второго множителя на первый.

Отсюда относительная ошибка произведения равна сумме относительных ошибок множителей:

(6)

Аналогично, если N = А/В, то

.

Мы опять пренебрегаем квадратами и произведением ошибок и рассматриваем наиболее невыгодный случай, когда ошибки в измерении числителя и знаменателя сделаны с обратным знаком.

Отсюда

(7)

Абсолютная максимальная ошибка частного равна сумме произведений абсолютной ошибки числителя на знаменатель и абсолютной ошибки знаменателя на числитель, деленной на квадрат знаменателя.

Относительная ошибка частного, очевидно, равна сумме относительных ошибок делимого и делителя. Действительно,

(8)

Здесь следует иметь в виду, что автоматическое применение данных правил может привести к ошибке в тех случаях, когда измеряемая величина входит, в формулу для вычисления результата несколько раз. Рассмотрим следующий пример. Пусть N = (А + В)/В.

Можно, автоматически пользуясь приведенными формулами, рассматривать N как частное от деления двух величин: С = А + В и В.

Тогда

,

но , откуда

.

С другой стороны, очевидно, что , так

как N может быть представлено как N = (А/В) + I.

Ошибка, сделанная нами при первом способе подсчета, произошла потому, что мы считали знаки абсолютной ошибки измерения повторяющейся в знаменателе и числителе формулы величины В, различными, аналогично тому, как мы поступали при вычислении ошибки для частного от двух независимо измеренных

величин. В данном же случае абсолютную ошибку АВ в числителе и знаменателе, очевидно, надо брать с одинаковым знаком. Учтя это, мы и при первом способе подсчета пришли бы к правильному результату.

Таким образом, в случае повторения некоторой величины в формулах несколько раз следует в каждом данном случае специально вычислить максимальную среднюю ошибку измерения. Общий метод вычисления с помощью дифференциального исчисления приводит к следующей формуле максимальной ошибки:

(9)

Подсчитывая максимальную ошибку, надо иметь в виду, что если искомая величина определяется путем измерения ряда величин, то вычисленная предельная ошибка фактически оказывается существенно завышенной, так как вероятность того, что ошибки всех измеренных величин окажутся такого знака, что ошибка результата будет максимальной, тем меньше, чем больше число измеряемых величин. Однако если число измеряемых величин мало (1, 2) и число измерений мало, то использование формул, выведенных из распределения Гаусса, даст завышенное значение точности результата. В этом случае принято пользоваться другими распределениями, в частности, методами Фишера — Стьюдента или просто вычислять максимальную ошибку.

Кроме того, уменье оценить максимальную ошибку весьма существенно при выборе метода измерений и используемых приборов. Каждый прибор обладает определенной точностью. Ошибки, вносимые самим прибором, как правило, уже не являются случайными, и правила учета случайных ошибок к ним неприменимы. Необходимо при выборе приборов и метода измерений оценить, какая максимальная ошибка в этом случае может возникнуть, и отсюда решить, достаточна ли будет точность эксперимента, чтобы получить интересующий исследователя результат.

Приложение 6