Вычисление относительной скорости

Фактически в газе все молекулы движутся с различными скоростями, причем скорости молекул подчиняются распределению Максвелла. Для того, чтобы учесть этот факт, оценим величину относительной скорости двух молекул, движущихся со скоростями и . Эту задачу удобнее решать в системе центра масс.

О бозначим m₁ и m₂ массы молекул первого и второго сорта газа, и – радиусы-векторы первой и второй молекул, – расстояние между молекулами, R – радиус-вектор центра масс (рис. 1).

Рис. 1. Система координат

Тогда в выбранной системе координат

(1)

, (2)

Дифференцируя эти равенства, получим

, (3)

Здесь - скорость центра масс системы двух частиц, – относительная скорость этих молекул. Как видно из выражения (2), преобразование линейное и Якобиан преобразования (доказать), следовательно

. (4)

С учетом теоремы умножения вероятности независимых событий, функция распределения молекул по скоростям есть произведение функций Максвелла

(5)

Соответственно в новых координатах (3) показатель степени запишется:

, - масса системы; - приведенная масса

Тогда

Таким образом, вероятность того, что система двух частиц имеет скорость в «объеме» пространства скоростей и равна

Очевидно, что - вероятность для скорости всей системы, а - вероятность для относительной скорости молекул.

Тогда искомая средняя относительная скорость равна

Переходя к сферическим координатам, получим

В случае молекул с одинаковыми массами и , поэтому

Приложение 8

Условия применимости классической статистики

Когда ученые впервые соприкоснулись с миром микрочастиц, они стали его описывать исходя из обычных предположений о поведении частиц. И столкнулись с множеством парадоксов: почему атомы стабильны, и электроны не падают на ядро; почему излучение звездного неба не бесконечно яркое; как поглощает свет абсолютно черное тело и т.д. Не очень быстро и не так легко, как сейчас кажется, стало понятно, что классическая механика – это приближенная теория; точное описание физических явлений дает теория, в основе которой лежат аксиомы просто противоречащие «здравому» смыслу. Однажды подобное уже было в математике, когда упрощенная плоская геометрия Евклида оказалась только малой частью геометрии искривленных пространств. А живем мы все-таки в искривленном пространстве-времени и на не плоской планете. Хотя это не мешает нам считать для большинства практических применений, как и на уроке геометрии, что сумма всех углов в треугольнике всегда равна 1800 градусам. И эта частичная точка зрения хорошо работает пока не нужно измерять сумму углов в треугольнике, например, на глобусе, т.е. за границами применимости. Аналогично случалось с механикой, изучение границ ее не применимости было самым увлекательным интеллектуальным видом деятельности в науке начала прошлого века. Сегодня же можно просто заучив сказать: "Квантовая теория (или волновая механика) описывает законы поведения микрочастиц (элементарных частиц, атомов, молекул, атомных ядер) и их комплексов".

Квантовую механику можно применять для объяснения многих макроскопических явлений, поскольку свойства всех макроскопических тел зависят в прямом смысле от движения и взаимодействия составляющих частиц. Например, квантовая механика позволила понять многие свойства твердых тел, последовательно объяснить такие явления, как ферромагнетизм, сверхтекучесть, сверхпроводимость, понять природу таких астрофизических объектов, как белые карлики, нейтронные звезды, выяснить механизм протекания термоядерных реакций в Солнце и других Звездах.

Если вспомнить основы, то для классической механики характерно описание частиц путем задания их положений в пространстве координат и импульсов, и учет начальных условий в уравнениях движения. В квантовом случае в принципе нет таких понятий - ни траекторий, ни скоростей - есть вероятностное описание очень странного объекта волна-частица.

Окончательное формирование квантовой механики как последовательной теории связано с работой Вернера Карла Гейзенберга 1927 года, в которой был сформулирован принцип: любая физическая система не может находиться в состояниях, в которых координаты ее центра инерции и импульс одновременно принимают вполне определенные, точные значения. Этот принцип получил название "соотношение неопределенностей" и выражается соотношением.

или

где Δx – среднеквадратичное отклонение координаты x, Δp – среднеквадратичное отклонение импульса p, - универсальная мировая постоянная – постоянная Планка, которая называется также квантом действия и определяет границы между классической и квантовой физики.

Принцип неопределённости не просто налагает ограничения на возможные результаты измерений. Он вскрывает новые внутренние свойства самих объектов микромира: электрон не может одновременно иметь определённые значения проекций импульса и координаты на одно направление. Это заключение справедливо не только для электрона, но и для любой другой микрочастицы. В классическом пределе постоянную Планка устремляют к нулю, и можно предсказать поведение тела с позиции привычного механистического детерминизма. В макромире принцип неопределённостей не накладывает никаких реальных ограничений. Рассмотрим конкретный пример: обработку резцом детали, масса M которой равна 100 г и потребуем точность изготовления Δx ~ 1 мкм = 10^–4 см. Соотношение неопределенностей приводит к разбросу скорости Ясно, что такая неопределённость никак не повлияет на работу токаря. Иная ситуация имеет место в микромире, например, для электрона в атоме. Точность его пространственной локализации Δх определяется боровским радиусом . Из соотношения неопределённостей получаем оценку: см/сек. Отсюда следует, что электрон в атоме даже в основном состоянии не может покоиться.

В 1913 году Нильс Бор применил идею квантов к "спасению" планетарной модели атома. Эта модель была проста и наглядна, но на основе классических представлений приводила к парадоксу – радиус орбиты электрона должен был постоянно уменьшаться из-за излучения (поскольку он движется с ускорением, то должен излучать), в силу чего электрон рано или поздно должен был упасть на притягивающее ядро. Для объяснения устойчивости атомов, Бор предположил, что электрон испускает световые волны не постоянно, а лишь при переходе с одной орбиты на другую и только тогда рождается квант света с энергией hν.

В 1924 году французский физик Луи де Бройль, пытаясь найти объяснение постулированным Бором условиям квантования атомных орбит, придумал образ пилот-частицы. Его гипотеза, что каждой частице соответствует собственная волна, целое число длин волн которой укладывается на каждой устойчивой орбите известна сегодня как корпускулярно-волновой дуализм. Сегодня мы говорим, что наряду с известными волновыми свойствами, которые проявляются в дифракции, свет обладает и корпускулярными, т.е. он состоит и из частиц. Таким образом, каждая частица имеет свою волну де Бройля, длина которой связана с импульсом частицы: . Т.е. не только фотоны, но и все "обыкновенные частицы" (электроны, протоны и др.) обладают волновыми свойствами, но собственные длины волн у всех разные.

В подтверждение существования волновых свойств у электронов есть несколько экспериментов. Один из них был проведён американскими ученными Клинтоном Дэвиссоном и Лестером Джермером в 1927г. на монокристалле никеля. Проводилось исследование отражения электронов от кристалла. Установка включала в себя монокристалл никеля, сошлифованный под углом, и установленный на держателе. На плоскость шлифа направлялся перпендикулярно пучок монохроматических электронов. Скорость электронов определялась напряжением U на электронной пушке (как и в работе 2.2): По показаниям гальванометра, установленного под углом θ к падающему пучку, определялась интенсивность отражённого от кристалла электронного пучка. Вся установка находилась в вакууме. Измерялась интенсивность рассеянного кристаллом электронного пучка в зависимости от угла рассеяния 0 < θ < 90° от азимутального угла 0 < φ < 360°, от скорости v электронов в пучке.

Опыты показали, что имеется ярко выраженная селективность (выборочность) рассеяния электронов. При различных значениях углов и скоростей, в отражённых лучах наблюдаются максимумы и минимумы интенсивности. Условие максимума:

Здесь d — постоянная кристаллической решётки. Таким образом, наблюдалась дифракция электронов на кристаллической решётке монокристалла. Опыт явился блестящим подтверждением существования у микрочастиц волновых свойств. Классическими опытами являются опыты прохождения электронов сквозь две щели, всем советуем почитать об этом в лекциях Ричарда Фейнмана. Сегодня такой эксперимент удалось реализовать даже с фуллеренами, которые состоят из 60 атомов углерода и имеют замкнутую форму.

Классическая механика приближенно применима только при условии, что среднее расстояние между частицами (здесь V- объем системы, n – концентрация частиц) значительно превышает эту величину:

(2)

Поскольку характерная скорость частиц при температуре T определяется как , то условие применимости классического приближения можно записать в виде

(3)

Это неравенство с запасом удовлетворяется для обычных газов при условиях, близких к нормальным. Иначе они бы не были так просты и однозначны. А вот для электронов в проводниках оно может и нарушаться