- •Содержание
- •Введение
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •По технике безопасности
- •Некоторые свойства вероятностей
- •Введение в математическую статистку
- •Эмпирическая функция распределения
- •Гистограмма распределения
- •Числовые характеристики
- •Нормальное распределение
- •Свойства нормального распределения:
- •Правило 3 сигма
- •Задание
- •Контрольные вопросы
- •Свободные электроны в металлах
- •В ычисление анодного тока при задерживающем напряжении
- •Измерения и их обработка Приборы и принадлежности
- •Выполнение работы
- •Контрольные вопросы
- •Потенциал межмолекулярного взаимодействия
- •Соотношения между кинетической и потенциальной энергиями в агрегатных состояниях
- •Поверхностное натяжение
- •Механизм возникновения поверхностного натяжения
- •Капиллярные явления
- •Приборы и принадлежности
- •Вывод рабочей формулы
- •Порядок выполнения работы
- •Приборы и принадлежности
- •Вывод рабочей формулы
- •Порядок выполнения работы
- •Приборы и принадлежности
- •Описание установки
- •Вывод рабочей формулы
- •Порядок выполнения работы
- •Приборы и принадлежности
- •Описание установки и вывод рабочей формулы метода
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Объяснение эффекта Зеебека Объемная термоЭдс или различная зависимость средней энергии электронов от температуры в различных веществах
- •Контактная термоЭдс или различная зависимость от температуры контактной разности потенциалов в различных веществах
- •Объяснение эффекта Пельтье
- •Термоэлектрический модуль (элемент) Пельтье
- •Описание экспериментальной установки
- •Порядок выполнения работы Задача 1 - изучение эффекта Пельтье
- •Задача 2 - изучение эффекта Зеебека
- •Контрольные вопросы
- •Вывод формулы Пуазелля, коэффициент вязкости
- •Описание экспериментальной установки
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Постановка задачи
- •I. Метод вискозиметрии
- •Обоснование метода
- •Приборы и принадлежности
- •Описание вискозиметра
- •Порядок выполнения работы
- •II. Метод Стокса Обоснование метода
- •Приборы и принадлежности
- •Описание прибора
- •Порядок проведения работы
- •Контрольные вопросы
- •Оборудование
- •Вывод рабочей формулы
- •Порядок выполнения работы:
- •Порядок выполнения работы:
- •Контрольные вопросы
- •Постановка задачи
- •Описание установки
- •Вывод рабочей формулы
- •Порядок выполнения работы
- •Обработка результатов
- •Контрольные вопросы
- •Описание установки
- •Вывод рабочей формулы
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Классическая теория теплоемкости твердых тел (кристаллов)
- •Несовершенство классической теории теплоемкости
- •Квантовая теория теплоемкости Эйнштейна
- •Понятие о квантовой теории Дебая для теплоемкости твердых тел
- •Экспериментальная задача Приборы и принадлежности
- •Измерение теплоемкости методом охлаждения
- •Описание установки
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Постановка задачи
- •Описание установки
- •Величина χ при различных температурах
- •Контрольные вопросы
- •Основные понятия комбинаторики
- •1. Размещения с повторениями
- •2. Размещения без повторений
- •3. Перестановки без повторений
- •4. Перестановки с повторениями
- •5. Сочетания без повторений
- •Задача о картах и вероятности
- •Обработка результатов по методу наименьших квадратов
- •Обработка результатов измерений.
- •Очень нужно всем студентам знать!!!
- •При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций:
- •Ошибки величин являющихся функциями нескольких измеряемых величин
- •Изменение концентрации частиц при прохождении через потенциальный барьер
- •Вычисление относительной скорости
- •Условия применимости классической статистики
- •Границы применимости закона Максвелла распределения молекул газа по скоростям
- •Понятие о квантовой статистике Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака. Переход к статистике Максвелла-Больцмана.
- •Литература
Обработка результатов по методу наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов позволяет по экспериментальным точкам провести прямую (кривую), которая проходила бы как можно ближе к истинной функциональной зависимости. Теория вероятности показывает, что наилучшим приближением будет такая прямая (кривая) линия, для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до кривой будет минимальной.
Пусть из опыта получены точки:
(1)
Требуется найти уравнение прямой
(2)
наилучшим образом согласующейся с опытными точками.
Пусть мы нашли такую прямую. Обозначим через расстояние опытной точки от этой прямой (измеренное параллельно оси y). Из уравнения (2) следует, что
(3)
Чем меньше числа по абсолютной величине, тем лучше подобрана прямая (2). В качестве характеристики точности подбора прямой (2) можно принять сумму квадратов
(4)
Покажем, как можно подобрать прямую (2) так, чтобы сумма квадратов S была минимальной. Из уравнений (3) и (4) получаем
(5)
Условия минимума S будут
(6)
(7)
Уравнения (6) и (7) можно записать в таком виде:
(8)
(9)
Из уравнений (8) и (9) легко найти a и b по опытным значениям xi и yi. Прямая (2), определяемая уравнениями (8) и (9), называется прямой, полученной по методу наименьших квадратов (этим названием подчеркивается то, что сумма квадратов S имеет минимум). Уравнения (8) и (9), из которых определяется прямая (2), называются нормальными уравнениями.
Из уравнений (8) и (9) получим a и b:
,
Найдите экспериментальную точку максимально отстоящую от построенной вами по методу наименьших квадратов прямой и рассчитайте максимальную погрешность этого метода:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Приложение 4
Обработка результатов измерений.
Коэффициент СТЬЮДЕНТА (псевдоним У. Го́ссета)
Очень нужно всем студентам знать!!!
Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных измерений мы получили значений величины:
(1)
Этот ряд значений величины x получил название выборки. Имея такую выборку, мы можем дать оценку результата измерений. Величину, которая будет являться такой оценкой, мы обозначим . Но так как это значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой величины, необходимо оценить его ошибку. Предположим, что мы сумеем определить оценку ошибки Δx. В таком случае мы можем записать результат измерений в виде
(2)
Так как оценочные значения результата измерений и ошибки Δx не являются точными, запись (2) результата измерений должна сопровождаться указанием его надежности P. Под надежностью или доверительной вероятностью понимают вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале, указанном записью (2). Сам этот интервал называется доверительным интервалом.
Например, измеряя длину некоторого отрезка, окончательный результат мы записали в виде
Это означает, что из 100 шансов – 95 за то, что истинное значение длины отрезка заключается в интервале от 8.32 до 8.36 мм.
Таким образом, задача заключается в том, чтобы, имея выборку (1), найти оценку результата измерений , его ошибку Δx и надежность P.
Эта задача может быть решена с помощью теории вероятностей и математической статистики.
В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения, установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой
, (3)
где Δx – отклонение от величины истинного значения;
σ – истинная среднеквадратичная ошибка;
σ2– дисперсия, величина которой характеризует разброс случайных величин.
Как видно из (3) функция имеет максимальное значение при ∆x = 0 , кроме того, она является четной.
На рис.1 показан график этой функции. Смысл функции (3) заключается в том, что площадь фигуры, заключенной между кривой, осью Δx и двумя ординатами из точек Δx1 и Δx2 (заштрихованная площадь на рис.1) численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадет в интервал (Δx1,Δx2) .
Рис.1
Поскольку кривая распределена симметрично относительно оси ординат, можно утверждать, что равные по величине, но противоположные по знаку ошибки равновероятны. А это дает возможность в качестве оценки результатов измерений взять среднее значение всех элементов выборки (1)
, (4)
где – n число измерений.
Итак, если в одних и тех же условиях проделано n измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет ее среднее значение (арифметическое). Величина стремится к истинному значению х измеряемой величины при n → ∞.
Средней квадратичной ошибкой серии измерений называется величина
(5)
Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения. При n → ∞ S стремится к постоянному пределу σ
(6)
С увеличением σ увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений.
Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина
(7)
Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений.
Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины . Результат записывается в виде:
(8)
Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты (с надежностью 0.68) только в том случае, когда одна и та же величина измерялась не менее 30 – 50 раз.
В 1908 году Стьюдент показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений. Распределение Стьюдента при числе измерений n→∞ переходит в распределение Гаусса, а при малом числе отличается от него.
Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом Стьюдента t. Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что
(9)
где Δx – абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности; – среднеквадратичная ошибка среднего арифметического.
Коэффициенты Стьюдента приведены в таблице 2 (в конце этого приложения).
Из сказанного следует:
Величина среднеквадратичной ошибки позволяет вычислить вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в любой интервал вблизи среднего арифметического.
При n → ∞ → 0, т.е. интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение x, стремится к нулю с увеличением числа измерений. Казалось бы, увеличивая n, можно получить результат с любой степенью точности. Однако точность существенно увеличивается лишь до тех пор, пока случайная ошибка не станет сравнимой с систематической. Дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно, т.к. конечная точность результата будет зависеть только от систематической ошибки. Зная величину систематической ошибки, нетрудно задаться допустимой величиной случайной ошибки, взяв ее, например, равной 10% от систематической. Задавая для выбранного таким образом доверительного интервала определенное значение P (например, P = 0.95), нетрудно найти необходимое число измерений, гарантирующее малое влияние случайной ошибки на точность результата.
Для этого удобнее воспользоваться таблицей 3(в конце этого приложения), в которой интервалы заданы в долях величины σ, являющейся мерой точности данного опыта по отношению к случайным ошибкам.