Некоторые свойства вероятностей

01. , если A и B являются событиями несовместимые. Эта вероятность показывает, что может произойти или А или В, но никогда вместе.

02. при условии что В произошло, есть условная вероятность

1. Если событие состоит из двух (и более аналогично) простых независимых случайных событий, то

, где p₁ и p₂ — вероятности случайных независимых событий A и B или

, если они зависят друг от друга, где - условная вероятность. Это есть теорема умножения вероятностей и применима она для событий, которые проявляются одновременно или последовательно.

2. - теорема сложения вероятностей в общем случае. Сумма событий означает что произойдет А или В или оба вместе.

Если события несовместны, то для вычисления вероятности суммы (А+В) их вероятности просто складываются. Используя эти два свойства, можно, зная вероятности появления только самых элементарных событий, узнать вероятность появления события любой сложности, лишь бы оно включало в себя только события с известными вероятностями. Рассмотрим это более подробно на примере Приложение 2 Задача о картах.

Введение в математическую статистку

Когда мы говорим о случайном событии, то подразумеваем, что есть некоторый эксперимент, исход которого не предопределен, но известны варианты исхода и с каждым из них связано некоторое предварительное ожидание, которое можно выразить в виде числа. Все это удобно собрать в одной функции, область определения которой есть вероятность, а область допустимых значений - множество возможных исходов случайного эксперимента. Само присутствие случайного эксперимента в такой формулировке будет фигурировать только неявно, выражаясь в особых свойствах построенной функции. С другой стороны, эти особые свойства будут отражать часть природы самого понятия вероятность, а значит, для работы с вероятностями можно использовать весьма богатый инструментарий математического анализа.

Интегральной функцией распределения называют функцию, определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее х, т.е.: .

Интегральная функция распределения обладает следующими свойствами

• Значения интегральной функции распределения: ;

• Интегральная функция распределения есть неубывающая функция F(x₂)≥F(x₁) если x₂>x₁.

Эти свойства следуют просто из математического определения понятия вероятности. Наиболее важным и используемым следствием из них является то, что:

Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (а,b) равна приращению интегральной функции на интервале

(2)

Первая производная от интегральной функции есть дифференциальная функция распределения случайной величины или плотность вероятности:

Для краткости ее обычно также называют просто функцией распределения без малейшего вреда для содержательной части. Знание этой функции позволяет сразу рассчитать вероятность нахождения переменной в интервале от a до b согласно свойству (2):

(3)

Зная дифференциальную функцию распределения всегда можно найти интегральную как

С геометрической точки зрения интегральная функция распределения есть площадь под графиком дифференциальной функции распределения. Если мы точно знаем пределы изменений значений этой функции (а в самом общем случае от -∞ до ∞), то сумма всех значений функции распределения, (или интеграл по всей области определения, если последняя имеет мощность континуума, как в примере с отрезками), равна единице. На самом деле это всего лишь договоренность, и почти любую функцию можно преобразовать к такому виду, красиво говоря, нормировав на единицу.

Наоборот, дифференциальная функция распределения при данном значении переменной равна угловому коэффициенту касательной к графику интегральной функции распределения.