37. Процесс алгоритмизации построения систематических кодов.

Алгоритм построения систематического кода определяется следующим образом:

Цель процесса алгоритмизации построить код исправляющий одиночные искажения (S=1) при числе разрешенных комбинаций (в качестве примера) N_p = 2⁵ = 32 и числе информационных элементов k = 5.

1. Определение минимального кодового расстояния

d_min = 2S + 1 = 21 + 1 = 3.

2. Определение общего количества элементов кодовых комбинаций систематического кода - n.

N_p = =

где: С - количество вариантов состояний кодовых комбинаций, когда искажение отсутствует (C = 1).

С - количество вариантов кодовых комбинаций, когда возникают одиночные искажения ( в рассматриваемом примере C = =n.

3. Из формулы для определения N_p определяют общее количество элементов систематического кода

2^k = ; 2⁵ = ; 32 =

при определении n выбирают минимальный верхний предел, т.е. sup n sup n = 9, т.к. 32 должно быть меньше или равно , то выбирая наименьший верхний предел, получают n=9, т.е. n=9; k=5.

4. Определение числа проверочных элементов систематического кода r = n - k = 9 - 5 = 4. Для случая r=4 строится множество кодовых комбинаций N_r = 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, !001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111.Из полученного множества для построения проверочной подматрицы производящей матрицы выбирают пять (к=5) комбинаций (любых), вес каждой из которых p d_min-1=3-1=2. Такое подмножество определится как N₅=0011, 0101, 0110, 0111, 1001, общее же количество комбинаций, удовлетворяющих условию p 2 имеет вид N_{p 2} = 0011, 0101, 0110,0111, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, т.е. N_{p 2}=12.

5. Построение производящей матрицы систематического кода-G_9,5

10000	0011
(20) G9,5 = 01000	0101
00100	0110
00010	0111
00001	1001

38. Две леммы о построении кодовых комбинаций блочных разделимых кодов.

Построение кодовых комбинаций блочных разделимых кодов базируется на двух леммах:

1. Суммирование по модулю 2 любого множества разрешенных комбинаций также дает разрешенную комбинацию.

2. Минимальное кодовое расстояние систематического кода равно минимальному весу его ненулевых кодовых комбинаций (весом кодовой комбинации называется число единиц этой кодовой комбинации)

39. Коды перестановок, размещений, сочетаний. Взвешенные двоично-десятичные коды 8421, 2421, 7421.

Комбинаторные коды. Математической основой построения комбинаторных кодов служит комбинаторный анализ - раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого конечного множества в соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет способ построения некоторой конструкции из элементов исходного множества, называемой комбинаторной конфигурацией. Простейшими примерами комбинаторных конфигураций являются перестановки, размещения и сочетания [4].

В случае, когда каждая кодовая комбинация, образованная по закону перестановок, состоит из m различных символов и отличается от всех остальных только порядком расположения кодовых символов, т.е. отличается кортежами кодовых комбинаций при их одинаковой длине. В этом случае все комбинации имеют одинаковое число элементов n и n=m, общее число кодовых комбинаций определится как

P_n = 123 ... n = n! (8)

Например при n=2 (m=n=2) P_n=12=2

при n=8 (m=n=8) P_n=40320.

Если же множество кодовых комбинаций образовано по закону размещения и они состоят из n элементов при числе различных признаков m, и отдельные кодовые комбинации отличаются друг от друга хотя бы одним символом и порядком их расположения, то общее число кодовых комбинаций (размещений) определяется по формуле (n  m)

A = m(m-1)(m-2) ... (m-n+1) = (9)

Например, если число элементов кодовой комбинации m=3, а число признаков каждого элемента n=2, то А = =6: при m=4 (а, б, в, г) и n=2 А = = 12 (аб, ав, аг, ба, бв, бг, ва, вб, вг, га, гб, гв).

При увеличении числа различных символов кодовых комбинаций m общее число кодовых комбинаций увеличивается.

Комбинации кода, образованного по закону сочетаний, отличаются друг от друга не только взаиморасположением элементов кодовой комбинации, но и самими элементами (хотя бы одним). Коды, построенные по закону сочетаний, отличаются от кодов, построенных по закону размещения тем, что в них отсутствуют кодовые комбинации с полностью совпадающими символами, т.е. отсутствуют кодовые комбинации, которые отличаются друг от друга только порядком расположения символов. Множество кодовых комбинаций, построенных по закону сочетаний, определяется в соответствии с формулой (10).

C = (10)

где: m - общее число различных символов кодовой комбинации;

n - число символов в каждом сочетании (каждой кодовой комбинации).

Однако, необходимо отметить, что в рассмотренных кодах, искажения кодовых комбинаций, возникающих за счет внешних возмущений (помех) и внутренних сбоев (аппаратурная ошибка) ошибки не обнаруживаются и не исправляются. Для устранения подобного рода недостатков при кодировании информации применяется целый класс специальных кодов - корректирующих кодов или кодов с обнаружением и исправлением ошибок [5].

Двоично-десятичный код используется при кодировании десятичной системы счисления и представляет собой четырехразрядное двоичное число для отображения каждого разряда десятичной системы счисления.

Для практического использования двоично-десятичных кодов в системах цифровой связи, автоматизированных и автоматических системах, компьютерной техники разработано ряд типовых структур двоично-десятичного кодирования, в которых для представления десятичных цифр от 0 до 9 используются 10 различных четырехразрядных двоичных чисел из полного множества кодовых комбинаций (N=16) при числе элементов кода n=4 [3]. Такими двоично-десятичными кодами являются : код 8421, код 2421, 7421.

В двоично-десятичном коде 8421 каждая цифра десятичного числа представляется в виде отдельного элемента этого кода или же суммы его элементов. Так числа 1, 2, 4, 8 отображаются элементами кода 8421, а цифры 3, 5, 6, 7, 9 суммой элементов кода 3=1+2; 5=2+3; 6=2+4; 7=1+2+4; 9=1+8. Отображение десятичных цифр в двоичной форме по коду 8421 будет иметь вид 10001; 20010; 401000; 81000.

Значение 1 в четырехразрядном двоично-десятичном коде проставляется на том месте четырехразрядного десятичного кортежа 8421, где находится эта цифра, остальные позиции двоичного кортежа заполняются нулями. Для отображения остальных десятичных цифр (3, 5, 6, 7, 9) единицы в двоичном четырехразрядном коде проставляются в тех местах кода 8421, цифры которого образуют это элемент десятичного числа.

Например: число 5=1+4 отобразится как 50101.

В коде 2421 формирование десятичных цифр и соответственно двоично-десятичных кодовых комбинаций осуществляется аналогично кодированию 8421, причем необходимо отметить, что первые пять цифр (0, 1, 2, 3, 4) десятичной системы счисления в двоично-десятичной системе отображаются также как и в коде 8421, а остальные пять отличны.

В коде 7421 первые семь цифр десятичной системы счисления отображаются в двоичной аналогично коду 8421, отличие этой системы в трех последних цифрах (7, 8, 9). Важным структурным отличием кода 7421 является то, в каждой кодовой комбинации, отображающей любую цифру десятичного алфавита имеется не более двух единиц. Последнее позволяет проверять (с определенной степенью точности) правильность передаваемых и принятых кодовых комбинаций. Если в принятом коде, построенном по ключу 7421 число единиц в каждой цифре десятичного числа не больше двух, то принятая кодовая комбинация считается достоверной.

Рассмотренные коды 8421, 2421, 7421 являются взвешенными кодами, в которых каждому из четырех разрядов двоичного числа а₃ а₂ а₁ а₀ , отображающего десятичную цифру приписывается определенный вес k_i и значение десятичной цифры определяется как

N = а₃ к₃ + а₂ к₂ + а₁ к₁ + а₀ к₀ (7).

Так для кода

8421 к₃=8, к₂=4, к₁=2, к₀=1

2421 к₃=2, к₂=4, к₁=2, к₀=1

7421 к₃=7, к₂=4, к₁=2, к₀=1

а₀ ... а₃ = 1  0.

Например, десятичная цифра 9 в кодах 8421, 2421, 7421 будет иметь следующие отображения

9₈₄₂₁ = 18 + 04 + 02 + 11  1001

9₂₄₂₁ = 12 + 14 + 12 + 11  1111

9₇₄₂₁ = 17 + 04 + 12 + 01  1010.

Десятичное число отображается в указанных кодах поразрядно. Например число 392 в рассмотренных кодах имеет следующие отображения

392₈₄₂₁  0011 1001 0010

392₂₄₂₁  0011 1111 0010

392₇₄₂₁  0011 1010 0010