17. Систематические коды. Процесс образования полного множества линейно-независимых кодовых комбинаций.

Большой класс корректирующих кодов составляет множество систематических кодов, которые определены как блочные разделимые n, k - коды. В таких кодах, состоящих из n символьных элементов, k элементов являются информационными, а оставшиеся r=n-k элементов кодовых комбинаций проверочными. Проверочные элементы образуются с помощью линейных преобразований информационных кодовых комбинаций [6].

Как правило систематические коды (n, k - коды) структурно составляются таким образом, что первое подмножество кодовой комбинации состоит из информационных элементов, а следующее за ним подмножество элементов кода состоит из проверочных элементов.

Построение кодовых комбинаций блочных разделимых кодов базируется на двух леммах:

1. Суммирование по модулю 2 любого множества разрешенных комбинаций также дает разрешенную комбинацию.

2. Минимальное кодовое расстояние систематического кода равно минимальному весу его ненулевых кодовых комбинаций (весом кодовой комбинации называется число единиц этой кодовой комбинации).

Кодовые комбинации называются линейно независимыми, если соблюдается следующее условие c₁f₁ c₂f₂ ... с_kf_k 0 для всех возможных значений c_i (c_i=1  0). Исключение составляет случай, когда с₁ = с₂ = ... = с_к = 0.

Для образования полного множества линейно независимых кодовых комбинаций, согласно первому постулату, путем сложения по модулю 2 k линейно независимых комбинаций f₁, f₂, ... , f_k и придания значений 0 или 1 коэффициентам с_i получают N_p = 2^k разрешенных кодовых комбинаций систематического кода. Определенные для построения множества комбинаций систематического кода линейно независимые комбинации f₁, f₂, ... , f_k записываются друг под другом в виде матрицы G_n,k.

18. Методика и алгоритм обнаружение и исправление двойных искажений в циклических кодах.

Рассмотрим построение кода с исправлением двойных искажений (S=2), с числом разрешенных символов N_p=2⁸=256, числом информационных элементов k=8.

1. Определение общего числа элементов кодовых комбинаций

N_p  =

219  = =255, n=16.

2. Из формулы n=2^m-1 определяется значение коэффициента m для выбора образующего многочлена n2^m-1; 162^m-1; m=4. Следовательно, общий вид образующего многочлена имеет вид:

P(x)=m₁(x) m₃(x) ... m_2S-1(x).

Для случая m=4 образующий многочлен приводится к виду P(x)=m₁(x)m₃(x).

3. Из таблицы 9 для m=4 определяют m₁(x) и m₃(x):

m₁(x)=x⁴+x+1; m₃(x)=x⁴+x³+x²+x+1.

m₁(0, 1)=10011; m₃(0, 1)=11111.

4. Определение вида образующего многочлена:

P(x)=m₁(x)m₃(x)=10011  11111 = 111010001 =x⁸+x⁷+x⁶+x⁴+1.

5. Определение числа проверочных и информационных элементов:

-число проверочных элементов r  mS=42=8

-число информационных элементов k=n-r=16-8=8

6. Определение дополнительной матрицы G_8,8 производящей матрицы G_16,8 кодов БЧХ, отображающих Windows-кодирование. Дополнительная матрица образуется делением единицы на кодовую комбинацию образующего многочлена P(x)=111010001.

100000000  111010001

111010001

R₁(x)= 11010001

110100010

111010001

R₂(x)= 01110011

R₃(x)= 11100110

111001100

111010001

R₄(x)= 00011101

R₅(x)= 00111010

R₆(x)= 01110100

R₇(x)= 11101000

111010000

111010001

R₈(x)= 000000001 p=1S деление закончено.

Дополнительная матрица имеет вид:

G8,8=

11010001 01110011 11100110 00011101 00111010 01110100 01110100 11101000 00000001

7.Определение производящей матрицы G_16,8.

C16,8=

00000001 11010001 00000010 01110011 00000100 11100110 00001000 00011101 00010000 00111010 00100000 01110100 01000000 11101000 10000000 00000001

8.Остальные кодовые комбинации множества кодов БЧХ, отображающих Windows-кодирование, строятся путем сложения по модулю 2 всех возможных сочетаний кодовых комбинаций производящей матрицы G_16,8. Например, если первая кодовая комбинация имеет вид 0000000111010001, а вторая 0000001001110011, то третья образуется в результате сложения первых двух

0000000111010001



0000001001110011

0000001110100010 и т.д.

Исправление искажений. Допустим в принятой кодовой комбинации 0000000111010001 произошло двойное искажение в 4 и 8 разрядах. В этом случае синдром приемника осуществляет следующее преобразование.

Принята искаженная кодовая комбинация 0000000101011001, синдром приемника осуществляет следующие преобразования: производит деление принятой кодовой комбинации на образующий многочлен P(x)=11010001

0000000101011001  111010001

111010001

10001000  остаток p=2, в этом случае p=S, условие pS выполнено.

Производится суммирование принятой кодовой комбинации с полученным остатком:

0000000101011001



10001000

0000000111010001  кодовая комбинация исправлена, т.е. произошло исправление двух искажений.

Следовательно, применение систематических и циклических кодов позволяет обеспечить как защиту передаваемых кодовых комбинаций от разрушающего воздействия внешних помех (случайных или преднамеренных), так и обеспечить (с определенной степенью стойкости) защиту от несанкционированного их распознавания пользователями, не имеющими права доступа к передаваемой информации.