6. Методика построения множества кодовых комбинаций кодов Боуза-Чоудхури-Хоквингема для случая обнаружения и исправления двойных искажений.

цель - построить код БЧХ с общим числом элементов кодовой комбинации n=15, и исправляющим двойные искажения S=2.

1. Из формулы n=2^m-1 определяется m

2^m = n+1 по определению логарифма m=log₂(n+1)=log₂(15+1)=4.

Следовательно, общий вид образующего многочлена имеет вид:

P(x)=m₁(x) m₃(x) ... m_2S-1(x)=m₁(x) m₃(x).

2. Из таблицы *коды минимальных членов* столбца m=4 выбирают многочлены для i=1 и i=3, т.е. m₁=10011, m₃=11111 откуда: m₁=x⁴+x+1, m₃=x⁴+x³+x²+x+1

3. Определяют вид образующего многочлена

P(x) = m₁(x)  m₃(x) = 100111111 = 111010001 = x⁸+x⁷+x⁶+x⁴+1

4. Определяют число проверочных и информационных элементов кодовых комбинаций кодов БЧХ: число проверочных элементов rmS=42=8; число информационных элементов k=n-r=15-8=7.

5. Строят дополнительную матрицу G_8,7 производящей матрицы G_15,7. Дополнительная матрица G_8,7 образуется делением единицы на кодовую комбинацию образующего многочлена P(x)=111010001

100000000 111010001

1 11010001

11010001 = R₁(x)

110100010

111010001

01110011 = R₂(x)

11100110 = R₃ (x)

111001100

111010001

00011101 = R₄(x)

00111010 = R₅(x)

01110100 = R₆(x)

11101000 = R₇(x)

6. Определяют производящую матрицу G_15,7

0000001 11010001

0000010 01110011

0000100 11100110

G_15,7 = 0001000 00011101

0010000 00111010

0100000 01110100

1000000 11101000

7. Строки производящей матрицы составляют подмножество множества кодовых комбинаций кодов БЧХ, остальные кодовые комбинации кодов БЧХ определяют по матрице G_15,7 сложением по модулю 2 всех возможных строк производящей матрицы.

Общее число множества кодовых комбинаций кода БЧХ для рассмотренного случая определится как N=2^k=2⁷=128.

Например из 1-ой и 2-ой кодовых комбинаций производящей матрицы получают следующую кодовую комбинацию кодов БЧХ

0000001 11010001



0000010 01110011

N₃= 0000011 10100010 и т.д.

7. Корректирующие коды. Равномерные коды. Неравномерные коды. Двухпозиционные коды. Многопозиционные коды.

Формируемые передающими устройствами кодовые комбинации, являющиеся носителями информации, при передаче по каналам связи от источника сообщений к приемнику могут подвергаться искажениям за счет воздействия на них различного рода помех (флуктуационных, импульсных, сосредоточенных по спектру или (и) по времени). При воздействии таких помех на кодовые комбинации искажениям подвергаются отдельные их элементы. В результате такого случайного воздействия элементы кодовых комбинаций могут переходить из состояния 1 в 0 и наоборот. При изменении только одного элемента кодовой комбинации это искажение называется одиночным искажением (=1). Если переходные искажения 1  0 или 0  1 происходит в двух элементах кодовых комбинаций, то они называются двойным искажением ( = 2) и т.д.

В цифровых системах передачи данных для борьбы с помехами применяют корректирующие коды, обладающие определенной избыточностью, что позволяет специальным устройствам приемной аппаратуры (синдромам) анализировать принимаемые кодовые комбинации, обнаруживать и исправлять искажения, возникающие за счет воздействия помех. Такие коды относятся к классу помехоустойчивых кодов, их построение основывается на выборе из всех N=2ⁿ комбинаций кода с n элементами некоторого подмножества кодовых комбинаций N_p  N (N_p N), называемых разрешенными кодовыми комбинациями. Остальные N_з=N-N_p называют запрещенными кодовыми комбинациями и при формировании информационной части кодовых комбинаций не используются.

По своей структуре корректирующие коды подразделяются на равномерные ( с постоянным числом элементов кодовых комбинаций) или неравномерные ( с переменным числом элементов кода), двухпозиционные (0, 1) или многопозиционные (а₁, а₂, ... , а_i). В средствах и системах передачи данных, аппаратуре цифровой связи применяются двоичные равномерные корректирующие коды, которые в свою очередь подразделяются на два множества: множество блочных кодов и множество непрерывных кодов. Ко множеству блочных кодов относят такие кодовые комбинации, которые отображают передаваемые сообщения отдельными блоками, причем каждый блок кодируется и декодируется независимо от остальных. Например организация побайтового обмена данными.