31. Код Хэмминга. Общие положения. Характерные особенности

Код Хэмминга. Особенностью кода Хэмминга является то обстоятельство, что столбцы проверочной матрицы располагаются таким образом, что r-комбинация i-столбца соответствовала бы номеру i кодовой комбинации, записанному в двоичной форме. Такое расположение столбцов позволяет построить синдром таким образом, что его номер в двоичной форме будет указывать на номер искаженного элемента принятой кодовой комбинации.

кодовая комбинация синдрома указывает на искаженное место разрешенной кодовой комбинации. Например, если искажен пятый разряд разрешенной кодовой комбинации, то его синдром определится как 0101

32. Алгоритм построения систематических кодов, исправляющих одиночные искажения.

Цель процесса алгоритмизации построить код исправляющий одиночные искажения (S=1) при числе разрешенных комбинаций (в качестве примера) N_p = 2⁵ = 32 и числе информационных элементов k = 5.

1. Определение минимального кодового расстояния

d_min = 2S + 1 = 21 + 1 = 3.

2. Определение общего количества элементов кодовых комбинаций систематического кода - n.

N_p = =

где: С - количество вариантов состояний кодовых комбинаций, когда искажение отсутствует (C = 1).

С - количество вариантов кодовых комбинаций, когда возникают одиночные искажения ( в рассматриваемом примере C = =n.

3. Из формулы для определения N_p определяют общее количество элементов систематического кода

2^k = ; 2⁵ = ; 32 =

при определении n выбирают минимальный верхний предел, т.е. sup n sup n = 9, т.к. 32 должно быть меньше или равно , то выбирая наименьший верхний предел, получают n=9, т.е. n=9; k=5.

4. Определение числа проверочных элементов систематического кода r = n - k = 9 - 5 = 4. Для случая r=4 строится множество кодовых комбинаций N_r = 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, !001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111.Из полученного множества для построения проверочной подматрицы производящей матрицы выбирают пять (к=5) комбинаций (любых), вес каждой из которых p d_min-1=3-1=2. Такое подмножество определится как N₅=0011, 0101, 0110, 0111, 1001, общее же количество комбинаций, удовлетворяющих условию p 2 имеет вид N_{p 2} = 0011, 0101, 0110,0111, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, т.е. N_{p 2}=12.

5. Построение производящей матрицы систематического кода-G_9,5

10000	0011
(20) G9,5 = 01000	0101
00100	0110
00010	0111
00001	1001

Из общего количества разрешенных комбинаций систематического кода, содержащего 5 информационных символов N_р=2⁵ =32, пять комбинаций уже определено , т.к. они входят в состав производящей матрицы G_9,5, шестая комбинация нулевая (все элементы равны 0), осталось найти 26 производных комбинаций, которые определяются на основе суммирования по модулю 2 строк производящей матрицы, т.е. осуществляется кодирование систематического кода.

Для определения r поверочных элементов по известным информационным элементам необходимо построить проверочную матрицу, состоящую из r строк и n столбцов.

Проверочная матрица строится на основе единичной матрицы путем приписывания к ней слева подматрицы D_k,r, содержащей k столбцов и r строк. Каждая строка подматрицы D_k,r соответствует столбцу поверочной подматрицы производящей матрицы G_n,k

b11 b21 ... bk1

b12 b22 ... bk2

....................

b1r b2r ... bkr

Таким образом, проверочная матрица будет иметь вид

b11 b21 ... bk1 10 ... 0

(22) b12 b22 ... bk2 01 ... 0

................................

b1r b2r ... bkr 00 ... 1

На основании проверочной матрицы H_n,r (22) формируется алгоритм кодирования и декодирования систематического кода.

В качестве примера построим на основании производящей матрицы (20) проверочную матрицу H_9,4.

		a1	a2	a3	a4	a5		b1	b2	b3	b4
(23)		0	0	0	0	1		1	0	0	0
H9,4	=	0	1	1	1	0		0	1	0	0
		1	0	1	1	0		0	0	1	0
		1	1	0	1	1		0	0	0	1

По полученной проверочной матрице H_9,4 определяются проверочные элементы b₁, b₂, b₃, b₄ на основании следующих уравнений:

b₁ = a₅

b₂ = a₂  a₃  a₄

(24)

b₃ = a₁  a₃  a₄

b₄ = a₁  a₂  a₄  a₅

Следовательно, любая кодовая комбинация систематического кода определяется из N_p=2^k исходных комбинаций.