19. Методика и алгоритм построения производящих и проверочных матриц систематических кодов

Для образования полного множества линейно независимых кодовых комбинаций, согласно первому постулату, путем сложения по модулю 2 k линейно независимых комбинаций f₁, f₂, ... , f_k и придания значений 0 или 1 коэффициентам с_i получают N_p = 2^k разрешенных кодовых комбинаций систематического кода. Определенные для построения множества комбинаций систематического кода линейно независимые комбинации f₁, f₂, ... , f_k записываются друг под другом в виде матрицы G_n,k.

Такая матрица, состоящая из k строк и n столбцов, называется производящей матрицей n, k кода [7].

G_n,k = (17)

Производящая матрица представлена двумя подматрицами: информационной (a_ik) и проверочной (b_ir). Информационная матрица состоит из k столбцов, проверочная из r столбцов. В качестве информационной подматрицы производящей матрицы можно взять единичную матрицу E_k

1 0 ... 0

01 ... 0

E_,k = ..........… (18)

0 0 ... 1

С учетом (17) и (18) производящая матрица для построения систематического кода будет иметь следующий вид:

1 0 ... 0 b₁₁ b₁₂ ... b_1r

0 1 ... 0 b₂₁ b₂₂ ... b_2r

G_n,k = ..................................... (19)

0 0 ... 1 b_k1 b_k2 ... b_kr

…………………….

a₁a₂... a_k b₁ b₂ .... b_r

Проверочная подматрица строится на основе информационной подматрицы с учетом следующих положений. Так как каждая строка кодового множества информационной подматрицы (18) содержит только одну 1, то вес каждой строки проверочной подматрицы должен быть не менее p₁ = d_min - 1, сумма двух любых строк по модулю 2 не менее p₁₂ = d_min -2.

20. Алгоритм построения циклических кодов.

В общем виде алгоритм построения циклических кодов может быть представлен в следующем виде:

1. Выбирается число информационных элементов циклического кода F(x).

2. Выбирается образующий многочлен P(x).

3. Каждая кодовая комбинация простого двоичного множества умножается на x^r (Q(x)x^r).

4. Полученное произведение делится на образующий многочлен P(x) , , находится частное G(x) и остаток R(x).

5. Определяется кодовый многочлен F(x) циклического кода

F(x) = Q(x)x^r + R(x) (30).

Например: построить кодовую комбинацию циклического кода F(x) с числом информационных элементов k=6. В качестве образующего многочлена определен многочлен вида P(x)=x³+x+1. В этом случае число проверочных элементов r=3 (определяется по степени образующего многочлена).

1. Общее число элементов кодовой комбинации циклического кода равно n=k+r=6+3=9.

2. Образующий многочлен P(x)=x³+x+1.

3. Выбирается комбинация простого двоичного числа исходного множества (любая) Q(x)=010111x⁴+x²+x+1 и определяется произведение Q(x)x^r=(x⁴+x²+x+1)x³=x⁷+x⁵+x⁴+x³.

4. Определение частного G(x) и остатка R(x)

G(x) + R(x) =

x⁷+x⁵+x⁴+x³ x³+x+1

x⁷+x⁵+x⁴ x⁴+1

0 + 0 +0 + x³

x³+x+1

x+1

Следовательно, G(x)=x⁴+1; R(x)=x+1.

В соответствии с формулой (30) определяется кодовый многочлен F(x) и кодовая комбинация циклического кода (9,6) в двоичной форме:

F(x)=Q(x)x^r+R(x)=(x⁷+x⁵+x⁴+x³)+(x+1)

F(0,1)=010111 011

где: 010111 - информационные элементы циклического кода k;

011 - проверочные элементы циклического кода r.