33. Определение общего числа элементов кодовых комбинаций систематических кодов. Определения числа проверочных элементов систематических кодов.

Из формулы для определения N_p определяют общее количество элементов систематического кода

2^k = ; 2⁵ = ; 32 =

при определении n выбирают минимальный верхний предел, т.е. sup n sup n = 9, т.к. 32 должно быть меньше или равно , то выбирая наименьший верхний предел, получают n=9, т.е. n=9; k=5.

4. Определение числа проверочных элементов систематического кода r = n - k = 9 - 5 = 4. Для случая r=4 строится множество кодовых комбинаций N_r = 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, !001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111.Из полученного множества для построения проверочной подматрицы производящей матрицы выбирают пять (к=5) комбинаций (любых), вес каждой из которых p d_min-1=3-1=2. Такое подмножество определится как N₅=0011, 0101, 0110, 0111, 1001, общее же количество комбинаций, удовлетворяющих условию p 2 имеет вид N_{p 2} = 0011, 0101, 0110,0111, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, т.е. N_{p 2}=12.

34. Алгоритм построения производящих и проверочных матриц систематических кодов.

Для образования полного множества линейно независимых кодовых комбинаций, согласно первому постулату, путем сложения по модулю 2 k линейно независимых комбинаций f₁, f₂, ... , f_k и придания значений 0 или 1 коэффициентам с_i получают N_p = 2^k разрешенных кодовых комбинаций систематического кода. Определенные для построения множества комбинаций систематического кода линейно независимые комбинации f₁, f₂, ... , f_k записываются друг под другом в виде матрицы G_n,k.

Такая матрица, состоящая из k строк и n столбцов, называется производящей матрицей n, k кода [7].

G_n,k = (17)

Производящая матрица представлена двумя подматрицами: информационной (a_ik) и проверочной (b_ir). Информационная матрица состоит из k столбцов, проверочная из r столбцов. В качестве информационной подматрицы производящей матрицы можно взять единичную матрицу E_k

1 0 ... 0

01 ... 0

E_,k = ..........… (18)

0 0 ... 1

С учетом (17) и (18) производящая матрица для построения систематического кода будет иметь следующий вид:

1 0 ... 0 b₁₁ b₁₂ ... b_1r

0 1 ... 0 b₂₁ b₂₂ ... b_2r

G_n,k = ..................................... (19)

0 0 ... 1 b_k1 b_k2 ... b_kr

…………………….

a₁a₂... a_k b₁ b₂ .... b_r

Проверочная подматрица строится на основе информационной подматрицы с учетом следующих положений. Так как каждая строка кодового множества информационной подматрицы (18) содержит только одну 1, то вес каждой строки проверочной подматрицы должен быть не менее p₁ = d_min - 1, сумма двух любых строк по модулю 2 не менее p₁₂ = d_min -2.