14. Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема. Общая характеристика. Число исправляемых искажений, кодовое расстояние.

Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ) – относятся к классу циклических кодов и по своей разрешающей способности позволяют обнаруживать и исправлять два и более искажений кодовых комбинаций, возникающих при их передаче по каналам связи. Для таких кодов кодовое расстояние определяется как d_min5. Образующий многочлен построения множества кодовых комбинаций кодов БЧХ формируется на основании заданного количества кодовых комбинаций n, которое в сою очередь определяется полным множеством кодовых комбинаций кодов БЧХ - N и по числу исправляемых искажений S. Число элементов кодовой комбинации БЧХ определяется как n=2^m-1, где m - любое целое число (3, 4, 5, ...), число проверочных элементов кодовой комбинации выбирается из условия r mS = (log₂(n+1))S,

а число информационных элементов будет равно k=n-r.

Образующий многочлен P(x) кода БЧХ представляет собой произведение нечетных минимальных многочленов m_i(x) и является их наименьшим общим кратным (НОК), т.е. наименьшим многочленом который без остатка делится на каждый минимальный многочлен m_i(x), где i=(1, 3, 5, ..., (2S-1)). Порядок многочлена P(x) равняется НОК P(x)=НОКm₁(x) m₃(x) ... m_2S-1(x).

15. Корректирующие коды с обнаружением искажений, применяемых в системах теледоступа к вычислительным ресурсам и системах передачи и обработки информации.

Корректирующие коды с обнаружением искажений, применяемые в системах передачи и обработки информации. Примером распространенного множества кодовых комбинаций, способных выявить возникающие искажения, является множество кодов на одно сочетание. В кодах на одно сочетание каждая кодовая комбинация имеет постоянное число элементов с характерным признаком k. Например таким характерным признаком может быть наличие в каждой кодовой комбинации разрешенного множества строго детерминированного количества единиц (k=2, k=3).

Другой разновидностью корректирующих кодов с обнаружением искажений являются коды с четным или нечетным числом единиц. При формировании двоичных кодовых множеств с четным (нечетным) числом единиц из всего 2ⁿ множества выбирают соответствующие кодовые комбинации, полученное разрешенное множество будет содержать N_p= =2^n-1 кодовых комбинаций, т.к. минимальное кодовое расстояние равно d=2, то такие коды способны обнаруживать одиночные искажения т.к. t = d_min - 1 = 1. Последнее равенство справедливо при условии, если в неискаженных разрешенных комбинациях число единиц четное (нечетное), и изменение одного из элементов кодовой комбинации приводит к нарушению четности (нечетности), что и позволяет судить о возникшем искажении.

Избыточность таких кодов определится как R=1- =1 - =

при n = 4 избыточность составляет R = 0,25, т.е. коды с четным или нечетным числом единиц обладают меньшей избыточностью по сравнению с кодами на одно сочетание, а, следовательно, при одном и том же числе кодовых элементов можно получить большее количество кодовых комбинаций для кодирования исходного сообщения.

Коды с повторением также являются разновидностью корректирующих кодов с обнаружением ошибок. Эти коды строятся из исходного кода путем его дополнения аналогичной кодовой комбинацией (т.е. происходит повторение передаваемой кодовой комбинации дважды).

Например: исходная комбинация 0101, передаваемая двоичная комбинация имеет вид 01010101. Кодовая комбинация, принимаемая приемным декодирующим устройством, считается достоверной, если в дополненной кодовой комбинации исходная часть совпадает с дополненной.

Коды с удвоением элементов. Эти коды также принадлежат ко множеству корректирующих кодов с обнаружением искажений, они образуются в результате удвоения каждого элемента исходной кодовой комбинации, причем нуль в исходной комбинации заменяется на два элемента 01, а единица на 10.

Большой класс корректирующих кодов составляет множество систематических кодов, которые определены как блочные разделимые n, k - коды. В таких кодах, состоящих из n символьных элементов, k элементов являются информационными, а оставшиеся r=n-k элементов кодовых комбинаций проверочными. Проверочные элементы образуются с помощью линейных преобразований информационных кодовых комбинаций [6].

Как правило систематические коды (n, k - коды) структурно составляются таким образом, что первое подмножество кодовой комбинации состоит из информационных элементов, а следующее за ним подмножество элементов кода состоит из проверочных элементов.