3. Двоичные коды. Двоично-десятичные коды. Кол Грея

Двоичные коды - коды с основанием m = 2.

Согласно (4) общее количество кодовых комбинаций для передачи исходных сообщений определится как

N = 2ⁿ (6)

Все 2ⁿ комбинаций двоичного кода представляются двоичными символами (битами) - 0, 1. Например количество кодовых комбинаций при числе элементов кода n = 4 будет равно N = 2⁴ = 16.

Двоично-десятичный код используется при кодировании десятичной системы счисления и представляет собой четырехразрядное двоичное число для отображения каждого разряда десятичной системы счисления.

Для практического использования двоично-десятичных кодов в системах цифровой связи, автоматизированных и автоматических системах, компьютерной техники разработано ряд типовых структур двоично-десятичного кодирования, в которых для представления десятичных цифр от 0 до 9 используются 10 различных четырехразрядных двоичных чисел из полного множества кодовых комбинаций (N=16) при числе элементов кода n=4 [3]. Такими двоично-десятичными кодами являются: код 8421, код 2421, 7421.

В двоично-десятичном коде 8421 каждая цифра десятичного числа представляется в виде отдельного элемента этого кода или же суммы его элементов. Так числа 1, 2, 4, 8 отображаются элементами кода 8421, а цифры 3, 5, 6, 7, 9 суммой элементов кода 3=1+2; 5=2+3; 6=2+4; 7=1+2+4; 9=1+8. Отображение десятичных цифр в двоичной форме по коду 8421 будет иметь вид 10001; 20010; 401000; 81000.

Код Грея. Наряду с указанными кодами в системах передачи данных часто применяют код Грея, который является модификацией обычного двоичного кода и относится к множеству так называемых проверочных кодов. Проверочными кодами называют такие коды, каждая кодовая комбинация которых строится таким образом, чтобы соседние кодовые комбинации кортежа отличались лишь в одном разряде или в каждой кодовой комбинации находилось только четное или нечетное число единиц или нулей.

При построении множества кодовых комбинаций Грея используют метод перехода заданной комбинации двоичного кода к соответствующей комбинации кода Грея путем сдвига комбинации двоичного кода на один разряд вправо и суммирования этих кодовых комбинаций по модулю 2.

Например, цифра 5 в двоичном коде (Табл.1) отображается как

5  0101,

переход к отображению той же цифры в коде Грея определится как

5 0111.

Обратный переход от кодовой комбинации Грея к соответствующей комбинации двоичного кода осуществляется поразрядно. Если, начиная со старшего разряда, до преобразуемой кодовой комбинации Грея число единиц нечетное, то на это место записывается единица, если четное, то 0.

Например, преобразовать комбинацию кода Грея 1101 в соответствующую комбинацию двоичного кода.

Значение первого разряда двоичного кода определится как

1 + 1 + 1 = 1

Значение второго разряда двоичного кода равно 1 + 1 = 0, значение третьего разряда 1 +1 = 0, четвертого 1. Следовательно, комбинация кода Грея 1101 в двоичном коде отображается как 1001.

4. Методика построения множества кодовых комбинаций кодов Боуза-Чоудхури-Хоквингема для случая обнаружения и исправления тройных искажений.

построение множества кодов БЧХ и для случая обнаружения и исправления тройных искажений в кодовых комбинациях. Ставится задача - построить множество кодовых комбинаций кодов БЧХ с общим числом элементов n=15 и количестве исправляемых искажений равных 3 (S=3).

1. Определяем степень минимальных многочленов m для построения образующего многочлена P(x)

m = log₂(n+1) = log₂16 = 4.

Следовательно образующий многочлен будет иметь вид:

P(x) = m₁(x) m₃(x) ... m_2S-1(x) = m₁(x) m₃(x) m₅(x)

2. Из таблицы 9 (столбец m=4) выбирают три минимальных многочлена с i=1,3,5 m₁(x)=10011=x⁴+x+1, m₃(x)=11111=x⁴+x³+x²+x+1,

m₅(x)=111=x²⁺x+1

3. Образующий многочлен для рассматриваемого примера определится как P(x)=m₁(x) m₃(x) m₅(x)=10011  11111 111=10100110111 x¹⁰+x⁸+x⁵+x⁴+x²+x+1.

4. Число проверочных элементов кодовых комбинаций r определится следующим образом rm S=43=12, но так как степень образующего многочлена P(x) равна 10, то r выбирается равным 10, r=10.

5. Число информационных элементов кода БЧХ определится как k=n-r (k=15-10=5).

6. По образующему многочлену P(x) строится дополнительная матрица G_10,5 производящей матрицы G_15,5. Строки дополнительной матрицы G_10,5 определяются в результате получения остатков от деления 1 с приписанными справа нулями на образующий многочлен P(X)=10100110111, таких остатков должно образоваться 5, т.к. число кодовых комбинаций остатка равно числу проверочных элементов r (r=10).

7. По дополнительной матрице G_10,5 строится производящая матрица G_15,5. Число строк такой матрицы также равно 5 (т.е. количеству информационных элементов k=5).

8. По образующей матрице путем суммирования ее строк определяются остальные кодовые комбинации множества кодов БЧХ, состоящих из 15 элементов и исправляющих тройные искажения.

Процесс построения дополнительной и производящей матриц, как и процесс формирования множества кодов БЧХ описан в предыдущем примере (смотри вопрос 6)