I. 5. Электрический момент диполя или дипольным момент.

Вектор, направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними, называется плечом диполя . Вектор

совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению заряда на плечо , называется электрическим моментом диполя или дипольным моментом.

Электрический диполь – система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+Q, -Q), расстояние между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля (рис. 1.6).

Рис. 1.6

ОХ:

I. 6. Поток вектора напряженности электростатического поля.

Число линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль к которой образует угол с вектором, равно , где Е_n – проекция вектора Е на нормаль к площадке (рис. 1.7). Величина

Рис. 1.7

называется потоком вектора напряженности через площадку,

где =dS – вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали к площадке. Выбор направления вектора (а следовательно, и dS) условен, так как его можно направить в любую сторону. Единица потока вектора напряженности электростатического поля – .

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора сквозь эту поверхность

где интеграл берется по замкнутой поверхности S. Поток вектора является алгебраической величиной: зависит не только от конфигурации поля Е, но и от выбора направления . Для замкнутых поверхностей за положительное направление нормали принимается внешняя нормаль, т. е. нормаль, направленная наружу области, охватываемой поверхностью.

I. 7. Теорема Гаусса для электростатического поля.

Поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на .

В общем случае электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объемной плотностью , различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S, охватывающий некоторый объем V,

Теорему Гаусса (1.13) можно записать так:

Примеры решения задач.

3. Задача 1. Три одинаковых положительных заряда q₁= q₂=q₃=1нКл расположены по вершинам равностороннего треугольника. Какой отрицательный заряд q4 нужно поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах?

Дано: q1=q2=q3=1нКл	1·10-9 Кл	Решение. Физическую систему составляют четыре заряда, расположенные так, как показано на рис.
q4

Рис.1.1

Так как три заряда, расположенные в вершинах, находятся в одинаковых условиях, достаточно рассмотреть равновесие одного из них, например q1. На рис. показаны силы, действующие на заряд q1. Со стороны зарядов q2, q3, q4 – соответственно F,F13,F14.

Запишем условия равновесия:

F₁₂F₁₃F₁₄FF₁₄, (1.10)

где F – равнодействующая сил F12 и F13.

Уравнение (1) запишем в проекциях на ось Х:

FF₁4 или FF₁₄ . (1.11)

Найдём F по теореме косинусов (см. рис.1.1) с учётом, что из (1.1) , . (1.12)

F4 – можно определить по закону Кулона (1.1):

. (1.13)

Из геометрических соображений

(1.14)

1. Приравняем (1.12) и (1.14) с учётом того, что в равностороннем треугольнике  = 60 и принимая во внимание (1.14):

(1.15)

Отсюда получим .

Подставим численное значение:

q₄   нКл.

Ответ: q₄   нК.

Задача 2.Два заряда 9q и –q закреплены на расстоянии 1м друг от друга. Третий заряд q1 может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда q1, при котором он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда равновесие будет устойчивым?

Дано: 9q q1 -q l=1м	Решение. Физическая система состоит из трёх зарядов. Рассмотрим равновесие заряда q1. Векторная сумма сил, действующих на него, будет равна нулю. Покажем на рис. три возможных случая расположения заряда q1 по отношению к 9q и –q, а также силы, действующие на него в каждом из этих трёх случаев.
х - ?

Рис.

1. Из рис. видно, что в случае 2 векторная сумма сил отличная от нуля, т.к. силы действующие со стороны заряда 9q и –q, соответственноF_ и F_ направлены одинаково. Силы взаимодействия двух точечных зарядов пропорциональны величинам зарядов и обратно пропорциональны расстоянию между ними. Следовательно, в случае 2 F  F, т.к. положительный заряд 9q больше отрицательного по модулю и расположен к q₁ ближе, чем заряд q. Остаётся записать условия равновесия для случая 3:

или |F |  |F |

Используем закон Кулона (1.1):

.

Отсюда, после сокращений и извлечения квадратного корня получим:

l x  x или x₁ l x₂  l

Корень x₂ не удовлетворяет физическому условию задачи (см. рис. случай 2). Подставим числовое значение: х = 0,5м. Определим знак заряда, при котором равновесие будет устойчивым. Равновесие называется устойчивым, если при смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в положение равновесия. Рассмотрим смещение заряда q₁ в двух случаях: 1) заряд положителен и 2) заряд отрицателен. Если заряд q₁ положителен, то при смещении его влево обе силы F и F возрастают. Но, F возрастает медленнее (заряд 9q всегда находится дальше, чем q, следовательно,F_ по модулю больше чем F_, и на заряд q₁ будет действовать результирующая сила, направленная от положения равновесия. То же происходит и при смещении заряда вправо.

Таким образом, в случае положительного заряда равновесие является не устойчивым.

1. если заряд q₁ отрицателен, то его смещение влево вызовет увеличение сил F_ u F_-, но сила F возрастает медленнее, чем F_ , т.е.  F_  F_. Следовательно, результирующая сила направлена к положению равновесия. При смещении вправо результат будет таким же. При отрицательном заряде равновесие будет устойчивым, величина заряда q₁ несущественна.

Примечание. В электростатике устойчивое равновесие возможно только при определённых ограничениях. В рассматриваемом примере заряд q₁ может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды q u –9q. При снятии этого ограничения устойчивое равновесие не возможно.

Ответ: х= l 2=0,5м. Равновесие будет устойчивым, если q₁ - отрицателен.

Задача 3. Тонкий стержень длиной 30см несёт равномерно распределённый по длине заряд с линейной плотностью 1мкКл/м. На расстоянии 20см от стержня находится заряд 10мкКл равноудалённый от концов стержня. Определить силу взаимодействия точечного заряда с заряженным стержнем.

Дано: l= 30cм r0=20см =1мкКл/м q=10мкКл	0,3м 0,2м 10-6Кл/м 10-8Кл	Решение. Физическая система, которую мы будем рассматривать, состоит из стержня и точечного заряда, находящегося в поле стержня. Найдем силу, действующую на точечный заряд. Эту силу можно выразить через напряжённость поля
F  

заряженного стержня в точке 0, где находится точечный заряд (см. рис.1.3):

(1.19)

Будем рассматривать стержень как совокупность точечных зарядов. Для этого разобьём его на дифференциально малые участки dl с зарядом dq=dl. Сначала найдём напряжённость такого точечного заряда, а затем используя принцип суперпозиции (1.6) напряженность поля всего стержня. Покажем на рис.1.3 выделенный элемент и напряженность создаваемого им поля, и разложим на два перпендикулярных вектора (перпендикулярный стержню) и (параллельный стержню).

Тогда в соответствии с (1.6):

Для участков dl, расположенных на стержне симметрично относительно ОА, вектор будет иметь направление, противоположное указанному на рисунке. Следовательно, эти векторы в сумме дадут ноль, и //  0.

Тогда  и, следовательно, результирующий вектор будет направлен перпендикулярно стержню, а модуль его

. (1.21)

Из рис.1.3 видно: . Напряженность точечного заряда dq (1.4):

Из геометрических построений (рис.1.3): , , . (1.23)

Подставим: ·. (1.24)

Из геометрических соображений:

(1.25)

Рис.

Подставим (1.25) в (1.24) и получим напряженность поля в точке, где находится заряд q:

. (1.26)

Тогда сила, действующая на заряд (1.19):

F=. (1.27)

После подстановки числовых значений: FмН

Ответ: F== мН и направлена перпендикулярно стержню, от него.

Задача 4.Электрическое поле создано бесконечной плоскостью, заряженной с поверхностной плотностью 400нКл/м2 и бесконечной прямой нитью, заряженной с линейной плотностью 100нКл/м. На расстоянии 10см от нити находится точечный заряд 10нКл. Определить силу действующую на заряд, её направление, если заряд и нить лежат в одной плоскости, параллельной заряженной плоскости.

Дано:  =400нКл/ м2  =100нКл/м q =10нКл r = 10см	4-10-7 л/м2 10-7 Кл/ м 10-8 Кл 0,1м	Решение. Рассмотрим физическую систему, состоящую из заряженных плоскости, нити и точечного заряда q, помещенного в их поле. На заряд, помещенный в электрическое поле с напряженностью , действует сила F (1.3):
F  

 (1.28)

Найдем напряженность поля, создаваемого плоскостью и нитью. Согласно принципу суперпозиции (1.6):

(1.29)

где - напряженность поля плоскости, - напряженность поля нити;

(1.30)

Направление векторов покажем на рис.1.4. Так как векторы и перпендикулярны, то Е= или с учетом (1.30)

.

пл

τ

r

Рис.1.4

Тогда сила, действующая на заряд, согласно (1.28):

После подстановки числовых значений получим: F289 мкН.

Направление силы задаётся углом к заряженной плоскости (см. рис.1.4.):

откуда 51º34'.

Ответ: =289 мкН, направлена под углом =51º34' к заряженной плоскости.

Задача 5.Найти напряженность электрического поля в центре полукольца радиусом R=5см, по которому равномерно распределен заряд q=Кл.

Дано: R=5см q=Кл	0,05м	Решение. Физическую систему составляют: заряженное полукольцо и электрическое поле заряда q этого заряда. Для определения напряженности воспользуемся принципом суперпозиции. Разделим полукольцо на малые элементы ду-

ги dl так, чтобы заряд dq = dl / (πR) каждой такой дуги можно было считать точечным. Для равномерного распределения заряда  - линейная плотность заряда полукольца:

(1.31)

Выберем два произвольных симметрично расположенных относительно ' элемента дуги (рис. 1.5). Напряженности электрического поля в точке  создаваемые выбранными элементами d и d согласно принципу суперпозиции

d = d + d.

Рис.1.5

Из соображений симметрии следует, что алгебраическая сумма проекций напряженности поля выбранных элементов на ось Оy равна нулю. Результирующее поле направлено вдоль оси Ох:

Так как то Положение точечного заряда на полукольце определяется углом α. Поэтому угол α и выберем в качестве переменной интегрирования:

Подставив численные значения величин, получим Е = 6,88·103 В/м.

Ответ: = 6,88·103 В/м.

Задача 6. Покажите и рассчитайте поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. Бесконечная плоскость (рис. 1.17) заряжена с постоянной поверхностной плотностью + ( - заряд, приходящийся на единицу поверхности).

Рис. 1.17

Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности (угол между векторами и ₁ равен 90⁰, cos90⁰=0), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания Е_n совпадает с Е cos0⁰=1 ), т. е. равен 2ЕS. Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности, равен . Согласно теореме Гаусса, , откуда

(1.21)

Из формулы вытекает, что Е не зависит от длины цилиндра, т. е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, иными словами, поле равномерно заряженной плоскости равномерно.

Ответ: поле равномерно заряженной бесконечной плоскости равно .

Задача 7. Покажите и рассчитайте поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей.

Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей. Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями и . Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию плоскостей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности.

На рисунке 1.18 сплошные стрелки соответствуют полю от положительно заряженной плоскости, пунктирные – от отрицательной плоскости. Слева и справа от плоскостей областей I и III поля вычитаются (линии напряженности направлены навстречу друг другу), поэтому здесь напряженность поля Е=0. В области II между плоскостями Е=Е₊+Е_-, поэтому результирующая напряженность

(1.22)

Рис. 1.18

Ответ: поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей равно .