§ 10. Рівняння гармонічних електромагнітних коливань у контурі

Подібність електромагнітних і механічних коливань проявляється в тому, що для фізичних величин, які харак­теризують механічні коливання, можна вказати величини-аналоги, що характеризують електромагнітні коливання (табл. 2):

Таблиця 2

Електромагнітні величини	Механічні величини
Електричний заряд Q	Координата х
Сила струму J^'TT	Швидкість у = тт
Швидкість зміни скли струму -	Прискорення а — тг
Величина, обернена до ємності —	Жорсткість пружини к
Індуктивність L Опір R Енергія електричного поля Q2 конденсатора —	Маса тягарця т Коефіцієнт тертя ц Потенціальна енергія пружної - 1 и 2 деформації "о"**
Енергія магнітного поля котушки -~£~LI~	Кінетична енергія руху 1 тягарця.-г-ту-

Порівнюючи енеогію електричного поля — з потен-ціальною енергією пружної деформації — kx² і енергію

магнітного поля -z-LI² з кінетичною енергією —ти² тягар-

ця (див. мал. 18), можна припустити, що й електромаг­нітні коливання в контурі мають відбуватися за гармо­нічним законом. Переконаємося у правильності цього при­пущення і одночасно визначимо період електромагнітних коливань у контурі з ємністю С й індуктивністю L.

У початковий момент часу (t= 0) заряд конденсатора дорівнює Q: під час розряджання конденсатора в контурі виникає електричний струм і, який збуджує в котушці ЕРС

індукції ¥,= —Ljr~- За законом Ома для повного кола

в замкнутому контурі сума спадів напруг дорівнює сумі ЕРС, які діють у цьому контурі. В даному випадку спад

напруги на опорі R дорівнює Ш, а на конденсаторі ^-.

Єдиною ЕРС в контурі буде #,. Отже, рівняння для про­цесів у контурі запишеться так:

(Ю.1)

Враховуючи, що /= —= Q', a ^<= Q", дістанемо дифе­ренціальне рівняння коливань заряду Q в контурі:

(10.2)

У даному коливальному контурі зовнішня ЕРС відсут­ня, тому розглядувані коливання є вільними.

Розв'язання рівняння (10.2) в загальному вигляді, тобто знаходження залежності заряду від часу, становить певні труднощі. Необхідною умовою виникнення в контурі коливань є його незначний опір, тому можна вважати, що R = 0. Тоді

(10.3)

З курсу математики ви знаєте, що рівняння такого виду описують гармонічні коливання фізичної величини, в даному випадку електричного заряду. Таке рівняння

називають диференціальним рівнянням гармонічних коливань. Його розв'язком є функція

(Ю.4)

де Q_m — амплітуда коливань заряду конденсатора з цик­ лічною частотою. (10.5)

Пригадаємо, що амплітудою коливання називають най­більше за модулем значення змінної фізичної величини, в даному випадку — заряду, а циклічна частота дорівнює кількості повних коливань, які система може здійснити за 2л одиниць часу.