- •§ 1. Коливальний рух і коливальна система. Вільні коливання
- •§ 2. Гармонічні коливання. Період, частота, амплітуда і фаза гармонічних коливань
- •§ 3. Графічне зображення гармонічних коливальних рухів. Векторні діаграми
- •§ 4. Додавання гармонічних коливань. Принцип суперпозиції
- •§ 5. Негармонічні коливання
- •§ 6. Автоколивання
- •§ 7. Гармонічні і некармонічні коливання в природі н техніці
- •§ 8. Вільні електромагнітні коливання в контурі
- •§ 9. Перетворення енергії в коливальному контурі
- •§ 10. Рівняння гармонічних електромагнітних коливань у контурі
- •§ 11. Період, частота і фаза коливань
- •§ 12. Затухаючі електромагнітні коливання. Автоколивання
- •§ 13. Генератор незатухаючих коливань
- •§ 14. Вимушені електромагнітні коливання. Змінний струм
- •Миттєве значення ерс синусоїдального струму для фази 60° становить 120 в. Визначити амплітудне значення ерс.
- •3. Ерс змінного струму задана рівнянням. Знайти
- •§ 15. Генератор змінного струму
- •§ 16. Діючі значення напруги й сили струму
- •§ 17. Активний опір у колі змінного струму
- •§ 18. Ємність у колі змінного струму
- •§ 19. Індуктивність у колі змінного струму
- •§ 20. Закон Ома для електричного кола змінного струму
- •§ 21. Потужність в колі змінного струму
- •§ 22. Електричний резонанс. Резонанс напруг
- •§ 23. Поняття про спектр негармонійних коливань і про гармонічний аналіз періодичних процесів
- •§ 24. Вироблення електричної енергії
- •§ 25. Принципи роботи генераторів змінного і постійного струму
- •§ 26. Генератор трифазного струму
- •§ 27. Вмикання навантаження в трифазну систему зіркою і трикутником. Лінійні і фазні напруги
- •§ 28. Асинхронний двигун трифазного струму
- •§ 29. Трансформатор
- •Енергії
- •§ 31. Проблеми сучасної електроенергетики і охорона навколишнього середовища
- •§ 32. Електромагнітне поле
- •§ 33. Струм зміщення
- •§ 34. Електромагнітні хвилі і швидкість їх поширення
- •§ 35. Рівняння хвилі
- •§ 36. Властивості електромагнітних хвиль (відбивання, заломлення, інтерференція, дифракція, поляризація)
- •§ 37. Енергія електромагнітної хвилі. Густина потоку випромінювання
- •§ 38. Винайдення радіо
- •§ 39. Принципи радіотелефонного зв'язку. Амплітудна модуляція і детектування
- •§ 40. Найпростіший радіоприймач
- •§ 41. Радіолокація
- •§ 42. Поняття про телебачення
- •§ 43. Розвиток засобів зв'язку
- •§ 44. Світлові хвилі. Швидкість світла
- •§ 45. Інтерференція світла. Когерентність. Спектральний розклад при інтерференції
- •§ 46. Способи спостереження інтерференції світла
- •Що необхідно для утворення стійкої інтерференційної картини?
- •Які хвилі є когерентними? 5. Як можна одержати когерентні світлові хвилі?
- •§ 47. Інтерференція в тонких плівках
- •§ 48. Практичні застосування інтерференції світла
- •§ 49. Стоячі світлові хвилі
- •§ 50. Дифракція світла
- •§ 51. Принцип Гюйгенса — Френеля. Метод зон Френеля
- •§ 52. Дифракційна решітка
- •1. Визначити довжину хвилі монохроматичного світла, якщо макси мум першого порядку, одержаний за допомогою дифракційної решітки з періодомм, відхилився від нульового максимуму на кут
- •§ 53. Дифракційний спектр
- •§ 54. Визначення довжини світлової хвилі
- •§ 55. Поняття про голографію
- •§ 56. Поляризація світла
- •§ 57. Дисперсія світла
- •§ 58. Спектроскоп
- •§ 59, Спектри випромінювання
- •§ 60. Спектри поглинання
- •§ 61. Спектральний аналіз
- •§ 62. Поглинання світла
- •§ 63. Інфрачервоне і ультрафіолетове випромінювання
- •§ 64. Рентгенівське випромінювання
- •§ 65. Шкала електромагнітних хвиль
- •§ 66, Геометрична оптика як граничний випадок хвильової оптики
- •§ 67 Закони геометричної оптики
§ 2. Гармонічні коливання. Період, частота, амплітуда і фаза гармонічних коливань
У природі й техніці існує безліч різноманітних коливань. Найбільш простими є гармонічні коливання, в яких величина, що характеризує відхилення системи від положення рівноваги, змінюється за синусоїдальним чи косинусоїдальним законом:
де х — величина, яка періодично змінюється, t — час, хт і (о — сталі величини. Майже всі складні коливання можна подати як суму гармонічних коливань, тому надалі ми зосередимося на вивченні саме гармонічних коливань.
Розглянемо на прикладі умови виникнення механічних гармонічних коливань. Нехай на гладенькій горизонтальній поверхні лежить тіло масою т, яке може ковзати по цій поверхні без тертя (мал. 3). Тіло прикріплене до нерухомої стінки пружиною, жорсткість якої k. Нехай у певний довільний момент часу t тіло змістили від положення рівноваги в точку з координатою х (мал. З, б). Запишемо рівняння руху тіла вздовж осі х. У цьому напрямі на тіло діє лише одна сила — сила пружності пружини F, напрямлена до положення рівноваги. Проекція цієї
сили F= —kx, тому рівняння руху тіла матиме такий вигляд:
та= —kx, (2.1)
або, позначивши коефіцієнтчерез
де а — проекція прискорення тіла в даний момент часу. З курсу математики 10-го класу ви знаєте, що прискорення — це друга похідна координати по часу (а = х"). Тоді рівняння (2.1) можна записати так:
(2.2)
Розв'язками цього рівняння є гармонічні функції х = = хт cos tot і х= хт sin о)£. У цьому легко переконатися, підставивши їх у рівняння (2.2). Дійсно, якщо х —
= Хт COS <i)t, ТО Х'= —0)Хт ЗІП 40Ґ, а Х" = — Ьі'2Хт COS bit =
= — ш2*.
Рівняння (2.2) описує гармонічні коливання тіла. Тут знайшли відображення такі фізичні умови: 1) у положенні рівноваги рівнодійна всіх сил, які діють на тіло, дорівнює нулю; 2) під час зміщення тіла від положення рівноваги на нього діє сила, пропорційна зміщенню х і напрямлена до положення рівноваги.
Отже, ми переконалися, що гармонічні коливання здатне здійснювати будь-яке тіло, якщо на нього діє сила пружності. Тепер переконаємося, що гармонічними будуть і коливання математичного маятника. Відведемо маятник на невелику відстань від положення рівноваги (мал. 4). Рівнодійна сили тяжіння і сили пружності нитки буде напрямлена в бік положення рівноваги. Цю силу можна
записати так: F= —mg sin а. Ми вивчаємо коливання jjjjjjje з малими кутами відхилення. У цьому випадку
gina^-f- ТомУ
Величина ^~ стала. Позначимоїї через k. Тоді
Отже, незважаючи на те, що коливання пружинного і математичного маятників виникають під дією сил, які мають різну природу (сила тяжіння і сила пружності), залежність сили, що повертає тіло до положення рівноваги, від зміщення однакова: ця сила пропорційна зміщенню тіла, що коливається, від положення рівноваги і завпеди напрямлена в бік рівноваги. Це одна з характерних властивостей гармонічних коливань.
Для опису гармонічних коливань, крім переміщення, швидкості та прискорення, вводяться спеціальні для цього виду руху величини. Однією з них є зміщення — проекція переміщення тіла, яке коливається, від його положення рівноваги на вісь Ох. Зміщення — величина скалярна. Під час коливального руху значення зміщення безперервно змінюється. Максимальне значення зміщення називають амплітудним, або амплітудою. Позначають амплітуду літерою х.-,, а зміщення в будь-який момент часу — х. Амплітуда може мати різні значення залежно від того, на яку відстань ми зміщуємо тіло від положення рівноваги в початковий момент часу, і від того, яка швидкість надається при цьому тілу. Інакше кажучи, амплітуда визначається початковими умовами.
Для здійснення коливань потрібен певний час. Тривалість одного повного коливання називають періодом коливання. Позначають період літерою Т і виражають у секундах.
Фізична величина, обернена до періоду коливань, називається частотою коливань: v = —. Частота визначає
кількість коливань в одиницю часу.
У фізиці й техніці широко використовується поняття циклічної частоти w. Циклічна частота визначає кількість коливань, які відбуваються за 2л секунд. Зв'язок між циклічною частотою w і частотою v можна виразити
так: (о= 2nv. Циклічна частота о> і період коливань Т зв'язані співвідношенням:
«максимальну швидкість. З математичної точки зору обидві ді функції еквівалентні, але їх аргументи відрізняються
зд фазою наоскільки
Якщо амплітуда гармонічних коливань задана, координата тіла, яке коливається, в будь-який момент часу однозначно визначається аргументом косинуса (або синуса) ср= wt. Величину, яка стоїть під знаком косинуса чи синуса, називають фазою коливань, що описуються цими функціями.
Фаза характеризує не лише значення координати, а й інших фізичних величин, наприклад, шзкдкості та прискорення. коливного тіла, які змінюються також за гармонічним законом. Тому можна сказати, що фаза визначає при заданій амплітуді стан коливальної системи
У будь-який МОМеНТ ЧпСу.
ОскількиВідношення —г по-
казує, яка частина періоду пройшла від початку коливань. Будь-якому значенню часу коливань; вираженому в частках періоду, відповідає значення фази з радіанах. Так,
через часвід початку коливань (чверть періоду)
через половину періоду ср= л, через цілий період
і т. д.
Розв'язком диференціального рівняння гармонічних коливаньє не лише виразчи
а й вирази і х«=
де фо — фаза коливань у початковий момент часу і=0, або початкова фаза. її значення залежить від вибору початку відліку часу.
Звичайно початок відліку часу зручно вибирати так, щоб зміщення в цей момент часу було або максимальним, або мінімальним. У тому випадку, коли рівняння гармонічних коливань має вигляд х~ х.п зін со£, відлік часу ведеться з моменту проходження тілом положення рівноваги (при t—0; x= 0), а якщо різняння записано у вигляді відлік часу ведеться від моменту найбільшого відхилення від положення рівноваги (при і = 0, х = = х.;:). Цим способом користуються при підрахуванні часу або кількості коливань маятника, оскільки важко зафіксувати положення кульки в середній точці, де вона має