§ 23. Поняття про спектр негармонійних коливань і про гармонічний аналіз періодичних процесів

У реальних системах коливання можуть розглядатися як гармонічні лише з певним ступенем наближення; вони носять більш складний характер. Спостерігаються коли­вання настільки складні за формою, що описати кожне з них одним гармонічним законом не можна. Наприклад, не підпорядковані гармонічному закону сейсмічні коли­вання земної кори під час землетрусів.

Жоден коливальний процес у природі чи в техніці не триває нескінченно довго, а має початок і кінець у часі. Оскільки коливальний процес обмежений у часі, він не є гармонічним. Будь-яке реальне коливання відбувається з поступовою витратою енергії руху на роботу проти сил тертя і на випромінювання, а тому не є гармонічним.

Спостерігаються в природі коливальні процеси, які тривають дуже довго. Прикладом коливань такого роду можуть бути періодичні зміни напруги між різними ділян­ками людського тіла, які виникають в результаті роботи серця. Графік залежності «вироблюваної» серцевими м'язами напруги від часу називається електрокардіогра­мою (мал. 41). Вона дуже мало схожа на синусоїду (чи косинусоїду), тобто коливання біострумів є негармоніч-ними.

Із складними негармонічними коливаннями мають справу в радіотехніці. Часто такі коливання є результатом додавання кількох гармонічних коливань з різними часто­тами, амплітудами, фазами тощо.

Природно поставити запитання: якщо в результаті додавання простих гармонічних коливань виникають складні, різноманітні за формою результуючі коливання, то чи не можна подати складні коливання як суму простих гармонічних? Наприклад, на малюнку 42 зображено жир-

ною лінією коливання явно не гармонічне. Але його можна дістати, додаючи гармонічні коливання з частотами і, причому. Таким чином, дане складне коли-

вання можна подати у вигляді суми * основного тону», який відповідає частоті, і «обертонам, який відповідає частоті

Виявляється, розкладання складного коливання на ряд простих гармонічних коливань з частотами, кратними частоті складного коливання, яку називають основною частотою, можливе завжди. Причому, для кожного кон­кретного виду коливання розкладання можна здійснити єдиним способом. Закони такого розкладання сформулю­вав у минулому столітті французький вчений Фур'є у ви­гляді теореми, яка відіграє величезну роль в сучасній науці й техніці Він довів, що майже будь-яка періодична функ­ція з періодом 7^і, задана на інтервалі від, може бутирозкладена в нескінченний тригонометричний ряд гармонічних функцій з певними амплітудами і фазами, частоти яких кратні основній частоті і сума яких дав функцію:

Цей ряд називають рядом Фур'є. Перша складова в ньому— стала складова функції, незалежна від часу. Друга складовав першою, або основ-

ною, гармонічною складовою розкладання з періодом Т, що дорівнює періоду функції. Третю складову називають другою гармонікою. її період вдвічі менший, ніж період функції. Період третьої гармоніки втричі менший, ніж Т і т. д.

Якби для аналізу періодичної функції f(t) однаково важливими були всі члени нескінченного тригонометрич­ного ряду Фур'є (23.1), то гармонічний аналіз не мав би практичного значення, оскільки за його допомогою не можна було б здійснити жодних обчислень. Однак в дійс­ності амплітуда гармонік ряду Фур'є зі збільшенням номера п зменшується. Тому для практичної мети вияв­ляється можливим використовувати замість нескінченного ряду тригонометричних функцій їх скінченне число. Кіль­кість членів ряду Фур'є, які необхідно використати в роз­рахунках, визначається виглядом функціїі заданою точністю обчислень.

Результат гармонічного аналізу часто подають у вигля­ді так званого спектра складного коливання. Для цього на горизонтальній осі відкладають частоти складових гармонічних коливань, а вертикальними рисками (ордина­тами) позначають відповідні їм амплітуди. На спектрі не можна відобразити фази коливань, але нерідко буває достатньо знати частоти і амплітуди. Для прикладу роз­глянемо результат розкладання в спектр негармонічної періодичної функції, графік якої показано на малюнку 43. Періодичний коливальний процес, що його описує ця функ­ція, можна дістати, наприклад, в електричному колі, яке складається з джерела струму з напругою U на вихідних клемах, вимикача К і резистора R (мал. 44). Якщо вими­кач К замкнути і через інтервал часу т розімкнути, а потім через час Т після першого замикання знову замкнути на час т і таким чином повторювати процес вмикання і вими­кання, то графік залежності напруги на резисторі R від часу матиме вигляд, показаний на малюнку 43. Амплітуд­ний спектр гармонічних складових періодичної послідов­ності прямокутних імпульсів до 10-ї гармоніки показано на малюнку 45.

Гармонічний спектр складного коливання, який містить лише невелику кількість простих коливань і графік якого складається з окремих ординат, називається лінійчастим. Якщо спектр містить прості коливання практично всіх частот, він називається суцільним і графік його будується у вигляді кривої, яка обгинає верхівки ординат.

Розкладання на прості гармонічні коливання виявляє­ться можливим не лише для періодичних, а й для типово неперіодичних процесів (окремий імпульс, затухаючі коливання тощо). Неперіодичний процес можна подати як суму нескінченно великої кількості гармонічних коли­вань з амплітудами, які змінюються безперервно з усіма частотами.

Розкладання складного коливання на прості (гармо­нічні) або, інакше кажучи, знаходження його гармоніч­ного спектра є основним прийомом аналізу складного коливання. В імпульсній техніці гармонічний аналіз дає можливість виконувати розрахунки електричних кіл під час проходження ними електричних сигналів складної форми, застосовуючи прості правила розрахунку електрич­них кіл для його гармонічних складових. Часто гармоніч­ний аналіз складних коливань здійснюють за допомогою спеціальних спектральних приладів — гармонічних ана­лізаторів.

? 1. У чому полягав суть методу гармонічного аналізу періодичних функцій? 2. Що такс спектр складного коливання і який вигляд має лінійчастий спектр негармонійного коливання?

КОРОТКІ ПІДСУМКИ Й ВИСНОВКИ

1. Періодичні зміни заряду, сили струму й напруги називають електромагнітними коливаннями. При наяв­ ності в коливальному контурі періодично змінної електро­ рушійної сили в ньому виникають вимушені електромаг­ нітні коливання. Період вільних коливань у контурі:

(формула Томсона).

2. Основне рівняння вільних електромагнітних коли­ вань в контурі: . Якщо опір контуру R дуже малий, то

3. Електромагнітні коливання високої частоти можна дістати за допомогою транзисторного або лампового гене­ ратора, який є автоколивальною системою, де виробля­ ються незатухаючі коливання за рахунок енергії джерела постійної напруги — батареї гальванічних елементів або випрямляча.

4. Важливим прикладом вимушених електромагнітних коливань є змінний струм. У середній школі вивчаються вимушені електричні коливання в колах під дією напруги, яка гармонічно змінюється з частотою w за синусоїдаль­ ним чи косинусоїдальним законом: . Сила струму в цьому колі визначається за формулою:

5.На активному опорі електромагнітна енергія ге­нератора повністю перетворюється в інші види енергії. Коливання сили струму на цьому опорі збігаються за фазою з коливаннями напруги, а амплітуда сили струму

визначається рівністю

6. Діючі значення сили струму і напруги змінного струму визначаються рівностями:

7. На конденсаторі коливаннясили струму випере­ джають коливання напруги на . Величину називають ємнісним опором.

Він є опором реактивним, тобто в колі з ємністю відбу­ваються періодичні перетворення енергії струму і не відбу­вається її поглинання.

8. На котушці індуктивності коливання напруги випе­ реджають коливання сили струму на. Величину

називають індуктивним опором. У випадку індуктив­ного опору також не відбувається споживання енергії генератора.

9. Закон Ома для кола змінного струму з послідовно увімкнутих резистора, котушки індуктивності і конден­ сатора:

нази­вають повним опором кола.

10. Потужність змінного струму на ділянці кола визна­ чається діючими значеннями сили струму й напруги і залежить від зсуву фазміж напругою і струмом:

11.Різке зростання амплітуди вимушених коливань сили струму в коливальному контурі з малим активним опором — резонанс — відбувається тоді, коли збігаються частоти зовнішньої змінної напруги з власною частотою

коливального контуру. Одночасно із зростанням

сили струму під час резонансу різко зростають напруги на конденсаторі і котушці індуктивності. Під час резонансу зсув фаз між струмом і напругою стає рівним нулю.

Розділ II. ФІЗИЧНІ ОСНОВИ ЕЛЕКТРОТЕХНІКИ