§ 35. Рівняння хвилі

Основні закономірності хвильових процесів носять універсальний характер і однаковою мірою справедливі для хвиль різної фізичної природи: механічних хвиль у пружному середовищі, хвиль на поверхні води, в на­тягнутій струні тощо. Не є винятком і електромагнітні хвилі.

Однак на відміну від усіх інших хвиль, поширення яких завжди відбуваються в якому-небудь середовищі, електро­магнітні хвилі можуть поширюватися і в пустоті. Зрозу­міло, що електромагнітні хвилі можуть існувати не лише у вакуумі, айв речовині.

Нехай в якійсь точці О напруженість електричного поля змінюється за гармонічним законом

Оскільки електромагнітна хвиля поширюється із скін­ченною швидкістю, у точці, віддаленій від першої на від­стань jc, також виникнуть гармонічні коливання. Проте коливання в другій точці запізнюватимуться відносно

коливань в першій точці на час поширення. Тоді

електромагнітні коливання в другій точці відбуватимуться за таким законом:

. (35.1)

Це рівняння є, по суті, рівнянням плоскої синусоїдаль­ної електромагнітної хвилі.

Часто рівняння хвилі зручніше буває записувати дещо інакше. Перепишемо рівняння (35.1) у вигляді

Підставимо в другий член у дужках замість швидкості величину, що дорівнює їй, а замістьзапишемо Тоді дістанемо:

(35.2)

З цього виразу видно, що напруженість електричного поля Е на відстані х від джерела гармонічних коливань залежить від величини, тобто від числа довжин хвиль,

які вкладаються на відстані. Якщо, наприклад,, то відставання за фазою дорівнюватиме, а це означав, що фаза коливань напруженості в цій точці буде така сама, як і в точці О. Колиі т. д., то зсув фаз дорівню-

ватимеі т. д., тобто і в цьому випадку фази коливань

будуть однаковими. Таким чином, точки хвилі, які зна­ходяться одна від одної на відстані, шо дорівнює довжині хвилі, двом довжинам хвиль, взагалі цілому числу довжин хвиль, коливаються в однакових фазах.

а на відстані х від цієї точки:

В § 34 ви бачили, що максимуми напруженості елек­тричного поля під час поширення електромагнітної хвилі збігаються з максимумами індукції магнітного поля. Тому коливання індукції магнітного поля в точці О будуть до­рівнювати:

(35.3)

Формули (35.1) і (35.3) виражають закон зміни елек­тричного і магнітного полів у хвилі, яка поширюється

в одному певному напрямі, а саме в напрямі додатної осі х. Вони називаються рівняннями електромагнітної хвилі. Якщо хвиля поширюється в протилежному напрямі (вздовж від'ємної осі jc), то рівняння хвилі буде:

Напруженість електричного й індукція магнітного полів досягають максимуму і перетворюються в нуль одно­часно в одних і тих самих точках, тобто в електромагнітній хвилі коливання електричного і магнітного полів знахо­дяться у фазі.

§ 36. Властивості електромагнітних хвиль (відбивання, заломлення, інтерференція, дифракція, поляризація)

З курсу фізики 8-го і 9-го класів ви знаєте про відби­вання і заломлення механічних і звукових хвиль та світ­ла. Відбивання хвиль від перешкод і заломлення на межі двох середовищ — це загальна властивість хвиль, яка не залежить від їх природи. Відбиваються й електромаг­нітні хвилі, у чому неважко переконатися на дослідах. Для експериментального вивчення властивостей електро­магнітних хвиль скористаємося генератором і приймачем надвисокої частоти (довжиною хвилі 3 см). Генератор і приймач мають спеціальні рупорні антени, які забезпе­чують напрямлене випромінювання і напрямлений прийом електромагнітних хвиль.

Установимо на столі на однаковій висоті генератор і приймач антенами один до одного (мал. 77) і будемо добиватися доброї чутності звуку в гучномовці. Помістив­ши між антенами пластину з діелектрика, спостерігаємо деяке зменшення гучності. Якщо замінити діелектрик

металевою пластиною, то прийом хвиль взагалі припи­ниться. Це свідчить про те, що хвилі відбиваються про­відником. Кут відбивання електромагнітних хвиль, як і хвиль будь-якої іншої природи, дорівнює кутові падіння. У цьому легко переконатися, розмістивши антени під одна­ковими кутами до металевої пластини (мал. 78). Звук зникав, якщо прийняти пластину або повернути її на інший кут. Досліджуючи напрям відбитої хвилі за допо­могою рупорної антени приймача, можна переконатися, що електромагнітні хвилі відбиваються за тим самим законом, що й світло: кут падіння а дорівнює кутові відбивання р, причому напрям падаючої і відбитої хвиль та перпендикуляр до поверхні відбивання лежать в одній площині.

Під час падіння електромагнітної хвилі на поверхню тіла частина енергії хвилі відбивається, частина проникає всередину тіла, причому певна кількість енергії може про­йти через тіло, якщо воно прозоре для електромагнітних хвиль, решта енергії поглинається в тілі, викликаючи його нагрівання та інші процеси.

Діелектрик може бути майже прозорим для електро­магнітної хвилі, якщо частота останньої сильно відрізняє­ться від усіх власних частот коливань молекул, атомів і електронів діелектрика (відсутність резонансу).

Метали непрозорі для всіх електромагнітних хвиль, за винятком найбільш коротких ультрафіолетових і рент­генівських. Під час падіння електромагнітної хвилі на метал у ньому виникають індукційні струми, які погли­нають частину її енергії. Решта енергії хвилі відбивається, що зв'язано з випромінюванням вторинних хвиль іонами

металу, які коливаються. Детальніше про це буде йти мова пізніше.

Під час падіння на межу двох різних діелектриків електромагнітні хвилі, подібно до світла, заломлюються.

У цьому можна переконатися, помістивши на місце пластини трикутну призму з діелектрика (мал. 79), на­приклад, з парафіну. Повертаючи призму, спостерігають зникнення й появу звуку. Закономірності заломлення електромагнітних хвиль такі самі, як і для світла. Зокре­ма, напрям падаючої та заломленої хвиль і перпендику­ляр до межі розділу середовищ лежать в одній площині.

За допомогою генератора можна спостерігати і найваж­ливіші хвильові явища — інтерференцію і дифракцію електромагнітних хвиль. Інтерференцію можна спо­стерігати так, Генератор і приймач розміщують один проти одного (мал. 80). Потім знизу підносять металеву плас­тину. При цьому виявляється почергозе послаблення і підсилення звуку, що пояснюється інтерференцією двох хвиль, з яких одна безпосередньо поширюється від антени генератора, а друга — після відбивання від пластини.

Особливо зручно спостерігати інтерференцію електро­магнітних хвиль за допомогою двох металевих дзеркал

А і В, що утворюють між собою кут, близький до 180° (мал. 83), Відбиті від дзеркал пучки хвиль накладаються один на одного й інтерферують. Переміщаючи приймальну антену П в зоні взаємного накладання хвиль, можна дослідити інтерференційну картину.

Умови спостереження максимумів і мінімумів під час інтерференції електромагнітних хвиль можна легко діста­ти з рівнянь хвилі (35.2) і (35,3). Інтерференція виникає тоді, коли в певній точці простору відбувається накладан­ня двох або більше хвиль. Результат додавання цих коли­вань залежить від різниці фаз складових коливань.

Припустимо; що в певну точку С прийшли дві електро­магнітні хвилі однакової довжини )., джерела яких — точки А і В — знаходяться від С на відстанях і (мал. 82). Тоді в точці С додаються два електромагнітні коливання, які відбуваються вздовж однієї осі:

Різниця фаз цих коливань дорівнює:

Тому умова підсилення (максимумів) має такий вигляд:

де k= 0, 1, 2, ...,

звідки. Отже, коли-

вання будуть підсилені (тобто амплі­туда складного коливання дорівню­ватиме сумі амплітуд коливань, що додаються), якщо різниця ходу Гі—го хвиль до місця «зустрічі» дорівнює пар­ному числу півхвиль. Відповідно умова мінімумів буде мати такий вигляд:

або

Отже, коливання будуть послаблені (результуюча шплітуда дорівнюватиме різниці амплітуд коливань у двох хвилях), якщо різниця ходу хвиль дорівнює не-ларному числу півхвиль.

З явищем інтерференції пов'язана ще одна загальна властивість хвиль — дифракція, яка полягає у від­хиленні напряму поширення хвиль від прямолінійного, обгинання ними різних перешкод. Найпростіше спостері­гати дифракцію хвиль на поверхні води. Якщо на шляху хвиль поставити перешкоду, розміри якої приблизно дорівнюють довжині хвилі, то вони обгинатимуть цю перешкоду (мал. 83). Поставимо на шляху хвиль екран з отвором, розміри якого менші, ніж довжина хвилі. Хвилі заходять за' краї отвору (мал. 84), обгинаючи їх, тобто спостерігається дифракція.

Для спостереження дифракції електромагнітних хвиль антени генератора і приймача розміщують на відстані 1 м одна від одної (мал. 85_: о). У простір між антена­ми вносять алюмінієвий екран. Приймання сигналу

припиняються. Спрямувавши антену на край екрана, ви­являють електромагнітні хвилі, що свідчить про обгинання ними непрозорого для хвиль алюмінієвого диска. Замінивши диск двома алюмінієвими пластинами, між якими є щіли­на шириною 4—5 см, спостерігають обгинання (дифрак­цію) електромагнітними хвилями країв щілини (мал. 85, б). При дифракції спостерігається не лише обгинання електро­магнітною хвилею країв перешкоди, а й виникнення максимумів сигналу (як і при інтерференції).

На досліді можна також переконатися у тому, що елек­тромагнітні хвилі — поперечні. Для цього між генерато­ром і приймачем розміщують решітку з паралельних металевих стержнів (мал. 86). Повертаючи решітку, спо­стерігають підсилення й послаблення приймання аж до повної відсутності. Приймання відсутнє тоді, коли елек­тричний вектор Е падаючої електромагнітної хвилі пара­лельний до стержнів. У цьому випадку в стержнях збуджу­ються струми і решітка відбиває падаючі хвилі подібно до суцільної металевої пластини. Якщо вектор Е перпен­дикулярний до стержнів, струми не збуджуються в стерж­нях і електромагнітна хвиля проходить через решітку.

Розглянуті властивості електромагнітних хвиль були встановлені ще Г. Герцом. Подальші дослідження пока­зали, що електромагнітним хвилям притаманні не лише ці, а й всі інші властивості світла. Результати досліджень є вагомим доказом правильності електромагнітної теорії світла, згідно якої світло — це електромагнітні хвилі, тотожні хвилям, що випромінюються коливальним конту­ром і відрізняються від них лише довжиною хвилі.