§ 3. Графічне зображення гармонічних коливальних рухів. Векторні діаграми

Наочне уявлення про гармонічне коливання можна дістати, побудувавши графік залежності зміщення х від часу t: x= f(t). Побудуємо графік гармонічного коливання за точками графіка функції f(t)= x_m sin ьЛ. Для цього заповнимо таблицю 1:

За даними таблиці будуємо графік 1 (мал. 5). На цьому малюнку побудуємо графік 2 гармонічного коливання, яке здійснюється за косинусоїдальним законом * =

. Графік 2 має такий самий

вигляд, що й графік 1, але зміщений за фазою на — л, тобто це коливання випереджає перше за фазою на — л або на

чверть періоду.

За графіками зручно порівнювати різні види коливань.

Графік гармонічного коливання можна дістати також безпосередньо записуючи рух тіла на паперовій стрічці, яка рівномірно рухається (мал. 6). Якщо до тягарця при-

кріпити перо (з чорнилом), що дотикається до аркуша паперу, то в процесі коливань це перо запише на рухомому аркуші паперу криву, в якій легко впізнати синусоїду. Синусоїду запише маятник з пісочницею, підвішений на довгій нитці, який коливається з невеликим розмахом (мал. 7).

Розв'язання задач, зокрема додавання кількох гармо­нічних коливань одного й того ж напряму, істотно по­легшується і стає наочним, якщо зображати коливання графічно у вигляді векторів на площині. Одержана таким способом схема називається векторною діаграмою.

Візьмемо координатну вісь Ох (мал. 8). З точки О від­кладемо вектор довжини х_т, який утворює з віссю кут ф. Якщо привести цей вектор в обертання з кутовою швид-

кістю ^(|)» то проекція кінця вектора пере-агіїдатиметься вздовж осі Ох в межах від "^{Хт до} ~^^Хт* причому координата діві проекції змінюватиметься з часом зз таким законом:

Отже, гармонічне коливання можна

зобразити за допомогою вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливання, а напрям вектора утворює з віссю Ох кут, що дорівнює початковій фазі коливання.

§ 4. Додавання гармонічних коливань. Принцип суперпозиції

Одне й те саме тіло може брати участь одночасно у двох (і більше) коливальних рухах. Наприклад, підвішену на довгій нитці кульку можна змусити коливатися почергово, то в одній вертикальній площині, то в другій, перпенди­кулярній до першої. Можна також змусити її коливатися одночасно у двох цих площинах. Для цього кульку, яка коливається в одній площині, треба вдарити молотком у напрямі, перпендикулярному до цієї площини. Два ко­ливання у взаємно перпендикулярних площинах «дода­дуться» і утвориться результуючий рух, який у даному випадку є рухом кульки по еліпсу в горизонтальній площині.

Додавання зміщень при гармонічних коливаннях най­простіше здійснити графічно. Для цього, побудувавши на одних і тих самих координатних осях графіки коливань, які треба додати, здійснюють послідовне додавання орди­нат цих графіків для певних моментів часу t\, *•_>, h,... на осі абсцис. Приклади додавання коливань однакового періоду показані на малюнку 9 (на малюнку 9, а — коливань 1 і 2, які збігаються за фазою, на малюнку 9, б — при різниці

фаз). На малюнку 10 показано додавання

двох коливань різного періоду.

Значно зручніше додавати гармонічні коливання за допомогою їх векторних діаграм на основі принципу супер­позиції. Якщо коливання виникають з кількох незалежних причин, кожна з яких окремо спричиняє гармонічне коли­вання, то для будь-якого моменту часу результуюче змі­щення дорівнюватиме геометричній сумі зміщень, які тіло

мало б у кожному коливанні окремо у той самий момен-часу. В цьому й полягає зміст принципу супер позиції, або принципу накладання.

Скористаємося принципом суперпозиції для додавання двох гармонічних коливань однакового напряму і однако­вої частоти. Нехай ці коливання задані рівняннями:

(4.1)

Зобразимо обидва коли-ання за допомогою векторів - і а-> (мал. 11). Побудуємо _за правилами додавання век­торів результуючий вектор а. Проекція цього вектора на вісь Ох дорівнює сумі проекцій векторів, які додаються:

Отже, вектор а є результую-ним коливанням. Він обер-

тається з такою самою кутовою швидкістю w, що й вектори а\ і а->. Результуючий рух буде гармонічним коливанням з частотою (о, амплітудою а і початковою фазою <|. З по­будови видно, що

(4.2)

(4.2)

(4.3)

(4.3)

Отже, зображення гармонічних коливань за допомогою векторів дає можливість звести додавання кількох ко­ливань до операції додавання векторів. Цей прийом буває особливо корисним, наприклад в оптиці, де світлові коливання в певній точці визначаються як результат накладання багатьох коливань, що приходять в дану точку від різних ділянок хвильового фронту.

Формули (4.2) і (4.3) можна дістати, додавши вирази (4.1) і виконавши відповідні тригонометричні перетво­рення. Однак застосований нами спосіб одержання цих формул є більш простим і наочним.

Проаналізуємо вираз (4.2) для амплітуди. Якщо різни­ця фаз обох коливань, то амплітуда результую­чого коливання дорівнює сумі а, і а*. У тому випадку, коли різниця фаз cf'L' — <fi дорівнює +л або — л, тобто обидва коливання перебувають у протифазі, то амплітуда резуль­туючого коливання дорівнює

Якщо частоти коливань х\ і Хі неоднакові, то вектори а\ і а, обертатимуться з різною швидкістю. Результуючий вектор а змінюється за значенням і обертається із змінною швидкістю. Отже, результуючим рухом буде в цьому ви­падку не гармонічне коливання, а складний коливальний процес.