Задание а) Найти выражение для распределения скоростей в данном случае, считая, что верхняя пластина движется с заданной скоростью (течение Куэтта).

б) Найти выражение для распределения скоростей в случае неподвижных пластин, но расстояние по z отсчитывать от оси Х, совпадающей с центральной осью (на рис. Д.2.1 показана пунктиром).

Задача Д.4: Плоский открытый поток вязкой жидкости стекает по наклонной плоскости, глубина его постоянна и равна h. Найти распределение скоростей в потоке.

Решение

Движение жидкости происходит под действием силы тяжести. Выбираем неподвижную нижнюю плоскость в качестве плоскости x, y; ось x направлена вдоль течения. Уравнения (Д.2.1) для данного случая будет иметь вид:

.

Скорость зависит только от z и p зависит только от z, поэтому предыдущее уравнение преобразуется в

(Д. 2.7)

(Д. 2.8)

при z=h, p=p₀,поэтому

Интеграл (Д. 2. 7) имеет вид

Условие при z=0 даёт С₂=0.

Чтобы определить С₁ в (Д. 2. 9) представим, что поток увеличен по глубине в два раза и накрыт сверху крышкой, на которой (при z=2h, u_x=0); допустим, что при этом скорость на свободной поверхности не изменилась. Условие для определения С₁ будет иметь вид:

при z=2h

Окончательно

Задание Самостоятельно подсчитать расход жидкости (отнесённый к единице длины вдоль оси у) в рассматриваемом потоке глубиной h.

Д.3. Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости.

В дальнейшем будем полагать, что силы вязкости отсутствуют, т.е. рассматриваем идеальную невязкую жидкость.

Рассмотрим в установившемся потоке участок струйки, ограниченный сечениями 1 и 2, рис. Д.З.1. Обозначим для этих сечений через dS₁ и dS₂ площади, u₁ и u₂ – скорости, р₁ и р₂ – давление, через z₁ и z₂ – высоты, на которых находятся центры сечений. К элементу жидкости, заключённому между сечениями применим теорему механики, которая в данном случае формулируется так: изменение энергии рассматриваемого элемента жидкости равно работе внешних сил. Внешними силами для рассматриваемого элемента является, во-первых, силы давления, действующие в сечениях 1 и 2. Силы давления, действующие на боковые стенки трубки, нормальны к стенкам и работы не совершают, т.к. движение жидкости в направлении, нормальном и поверхности трубки не происходит.

Рис.Д.3.1.

За малое время Δt рассматриваемый элемент жидкости переместится по трубке и его границы займут положения 1' и 2'. Левая граница переместится на u1Δt, а правая на u2Δt. Энергия элемента жидкости при этом изменяется, но так как поток установившийся, то энергия части элемента,

ограниченной сечениями 1 и 2, остаётся неизменной. Все изменение энергии элемента жидкости будет таким же, как если бы левый слой, заключённый между 1 и 1', занял место правого слоя, заключённого между 2 и 2'. При малом Δt эти слои можно считать цилиндрическими. Их объёмы

и должны быть равны (т.к. согласно уравнению неразрывности dS₁^.u₁= dS₂^.u₂).

Объём ΔW₁ обладает массой Δm₁=ρΔW₁.

Его потенциальная энергия ΔU₁=Δm₁gz₁=ρds₁^.u₁^.Δt^.gz₁, и кинетическая ΔT₁=1/2 Δm₁u₁²= ρ/2 ds₁ Δt u₁³.

Аналогично выразятся потенциальная и кинетическая энергия объёма ΔW₂.

Изменение полной энергии всего объёма есть:

.

Внешние силы (силы давления), действующие на рассматриваемый объём в сечении 1, направлены в сторону перемещения жидкости и совершают положительную работу. Наоборот, внешние силы, действующие в сечение 2, направлены против перемещения жидкости и совершают отрицательную работу. Поэтому вся работа внешних сил р₁ds₁ и р₂ds₂ при перемещениях u₁dt и u₂dt будет равна .

По закону сохранения энергии ΔЕ=ΔА. Подставляя их в выражения и сокращая на ds₁u₁Δt и ds₂u₂Δt (так как ds₁u₁Δt=ds₂u₂Δt), получим:

или

.

Так как сечения выбраны произвольно, то для всех сечений данной струйки